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偶然對消

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微積分中偶然對消的例子

偶然對消異常對消(Anomalous cancellation)是指算術上不正確的處理,但其結果恰好是正確的。例如在化簡分數時直接將分子分母各位數中相同的數字刪除,這不是正確的約分方法,大部份情形下得到的答案是錯的,但偶爾這樣的運算會出現正確的結果[1]

以下是一些偶然對消的例子,十進制下分子及分母都是二位數,分子及分母不相等,且皆非11的倍數,可以偶然對消的分數只有以下這些以及其倒數:




[2]

博厄斯(Ralph P. Boas, Jr)分析了其他進制下的偶然對消,例如4進制下,分子及分母不相等的二位數分數,偶然對消的例子只有32/13 = 2/1及其倒數[2]

二位以上的分數也會有偶然對消,例如165/462 = 15/42。

基本性質

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若採用以素數進位的數位表示法(也即p-進制數),則這種對消沒有分子分母在兩位數及以下的解。證明如下:反證假設存在這樣的對消,不失一般性的,設這樣的對消滿足以下等式:

其中用雙豎線表示兩個數在數位上的拼接。這可以推出

注意到 都應該是-進制下的一位整數,故必然有。而由無法為0(否則對消後將原先非零的數變成了0),故唯一解滿足,同時這也將導出。該情況下化簡成立,但並非化到最簡的情形。

相關條目

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參考資料

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  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Anomalous Cancellation. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  2. ^ 2.0 2.1 Boas, R. P. "Anomalous Cancellation." Ch. 6 in Mathematical Plums (Ed. R. Honsberger). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 113–129, 1979.