無效證明

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

數學裡,有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的,其錯誤-通常是經過設計的-卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已,但可以被使用顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非單射函數f,以觀察對某些xy,會有f(x)=f(y),來(錯誤地)做出x=y的結論。零除數是此類錯誤的一特例;f為將x映射至x×0的函數,而其錯誤的一步是起於將x×0=y×0的等式做成x=y的結論。相似地,下面證明了5=4的句子也是以函數f(x)=x2的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個xy會使得x2=y2的一正確申論,然後做出了x=y的一錯誤結論。

算术例子[编辑]

證明1是最大的正整數[编辑]

  • 假設最大的正整數不是1,而是a,有a > 1。
  • a > 1 > 0,a為正的,所以由a > 1得到a × a > a。
  • 但是a × a還是正整數,可是沒有任何正整數比a大,矛盾。
  • 所以最大的正整數是1

Q.E.D.

此一證明是無效的,因為最大的正整數不存在,因此不能如此假設。

證明1等於-1[编辑]

  • 由一等式開始
  • 將兩邊轉成假分數
  • 將兩邊開方
  • 其會等於
  • 兩邊同乘以來消去分數
  • 但任一數的開方之平方會給出原本的數來,故

Q.E.D.

此一證明是無效的,因為負數的開方不是实数,推出是错误的(事實上,)。

證明1等於2[编辑]

1.令,且

2.將兩邊乘以a

3.將兩邊減掉

4.將兩邊因式分解

5.將兩邊除以

6.因為因此

7.簡化

8.將兩邊除以b

Q.E.D.

這個證明的錯誤點在於第五步,由於等於,而除以零是無效的。

證明4等於5[编辑]

  • 由一等式開始
  • 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示
  • 將兩邊做因式分解
  • 將兩邊加上相同的數
  • 將兩邊再做一次因式分解
  • 將兩邊開方
  • 消去相同的項

Q.E.D.

那一證明內的錯誤在於不表示的這一事實。到此之前的算術都是正確的,而事實上,。需注意的是,若將4減去,會得到。若再平方的話,則會得到正的。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話,則將會看見會等於。原始的式子事實上是會導致一個正確的等式的(若此一問題是以此一純粹的方式運算的話)。

證明1+1=0[编辑]

Q.E.D.

此證明的錯誤在於只有在a與b不皆為負數才成立,並不等於

證明0=1[编辑]

首先,設定一個無窮級數。

因為,因此:

拆括號之後在於不同的地方加上括號:

,因此:

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於,無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下,將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的,因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數

證明0/0等於0[编辑]

首先,我們知道:

由於

因此

因此

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於,成立的前提有

證明任意兩數都是相等的[编辑]


和立方差立方公式可知:

由於

代入,可得:

因此:

代入,可得:

Q.E.D.

这个证明的错误在于:

1、在以上的假设下,可得,所以并不是独立的;

2、在复数域中,由得不出。在此证明中,由得出是错误的。

几何例子[编辑]

第一题:证明任何三角形都是正三角形[编辑]

第一题错误的证图
第一题正确的证图
第二题错误的证图
第二题正确的证图

给定三角形△ABC,证明AB = AC:

  1. 作∠A的角平分线
  2. 作BC的垂直平分线,并设BC的中点为D。
  3. 设这两条直线的交点为P。
  4. 从P向AB和AC作垂线,并设垂足为E和F。
  5. 作直线PB和PC。
  6. △EAP ≅ △FAP(AP = AP;∠PAF ≅ ∠PAE由于AP平分∠A;∠AEP ≅ ∠AFP都是直角)。
  7. △PDB ≅ △PDC(∠PDB、∠PDC是直角;PD = PD;BD = CD由于PD平分BC)。
  8. △EPB ≅ △FPC(EP = FP由于△EAP ≅ △FAP;BP = CP由于△PDB ≅ △PDC;∠EPB ≅ ∠FPC由于它们是对顶角)。
  9. 因此,AE ≅ AF,EB ≅ FC,AB = AE + EB = AF + FC = AC。
  10. 同理,AB = BC,AC = BC。

证毕。

这个证明的错误在于,只有在△ABC為等腰三角形,P才會位于三角形的内部,而且AP与DP会重合。

第二题:证明直角等于钝角[编辑]

给定一个矩形ABCD,证明∠DCB=∠ECB;

  1. 在矩形ABCD外作CE=CD。
  2. 联结AE。
  3. 作BC、AE的中垂线,它们的垂足分别是G、F,两条直线交于H。
  4. 在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的,所以HA=HE,HB=HC。
  5. 矩形的对边相等,得AB=DC;加上作图要求,得AB=EC。
  6. 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。
  7. 由于HB=HC,则得∠HBC=∠HCB。
  8. 等量减等量,得∠ABC=∠ECB。
  9. 矩形的四个角都是90°,得∠ABC=∠ECB=90°。

Q.E.D.

这个证明的错误在于,由于△ABH≅△ECH,则∠BHA=∠CHE,即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE,可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转,因AH穿过了矩形ABCD,则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

微积分例子[编辑]

证明0等于1[编辑]

我们从计算以下的不定积分开始:

利用分部积分法,可得:

因此:

所以,有:

证毕。

这个证明的错误在于,忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算,會得到

參見[编辑]