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剛性方程

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數學領域中,剛性方程(stiffness equation)是指一個微分方程,其數值分析的解只有在時間間隔很小時才會穩定,只要時間間隔略大,其解就會不穩定。目前很難去精確地去定義哪些微分方程是剛性方程,然而粗略而言,若此方程式中包含使其快速變動的項,則其為剛性方程。

在積分微分方程時,若某一區域的解曲線英語Integral curve的變化很大,會希望在這個區域的積分間隔密一些,若另一區域的曲線近似直線,且斜率接近零,會希望在這個區域的積分間隔鬆一些。不過針對一些問題,就算曲線近似直線,仍然需要用非常小的積分間隔來積分,這種現象稱為「剛性」。有時可能會出現兩個不同問題,一個有「剛性」,另一個沒有,但兩個問題卻有同一個解的情形。因此「剛性」不是解本身的特性,而是微分方程的特性,也可以稱為是剛性系統

範例

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在求解一個剛性常微分方程時,用顯式方法出現的不穩定情形

考慮下面的初值問題

其精確解是

,並且顯然當

會希望數值解能夠具有相同的特性。

若以歐拉方法來求數值解,則使用不同的步長(step size)將會得到不同的結果。第一種,步長歐拉法強烈的震盪並且很快離開了圖的邊界。當將步長減半為時,得到的結果在圖的範圍以內。但是它依然在0附近震盪,並且不可能表示精確的解。

梯形法,即兩階段亞丹士-莫耳吞法英語Linear multistep method,表達為

其求得的結果比歐拉法的結果要好很多。如上圖所示,數值結果單調地減少到零,如同精確解一樣。

特徵

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剛性系統的特色是該系統所有特徵值的實部均為負數,並且其中特徵值實部絕對值中,最大和最小的比值遠大於1。

龍格-庫塔法

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將龍格-庫塔法應用至測試方程,可以得到如的形式,並可歸納出,其中稱為穩定性函數。因此的條件等價於。這啟發了絕對穩定區域(有時簡稱為穩定區域)的定義,亦即集合

若一個方法的穩定區域包含(即左半平面),則稱該方法為A-穩定英語A-stability

例子: 歐拉與梯度法

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粉紅色的圓形區域為歐拉方法的穩定區域。
粉紅色的區域為梯形法的穩定區域。

參見

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參考資料

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  • Dahlquist, Germund, A special stability problem for linear multistep methods, BIT, 1963, 3: 27–43, doi:10.1007/BF01963532 .
  • Ehle, B. L., On Padé approximations to the exponential function and A-stable methods for the numerical solution of initial value problems, Report 2010, University of Waterloo, 1969 .
  • Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems second, Berlin: Springer Verlag, 1996, ISBN 978-3-540-60452-5 .
  • Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert, Order Stars, Chapman and Hall, 1991, ISBN 978-0-412-35260-7 .
  • Wanner, Gerhard; Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert, Order stars and stability theory, BIT, 1978, 18: 475–489, doi:10.1007/BF01932026 .

外部連結

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