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卡諾定理 (內切圓、外接圓)

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設ABC為三角形,O為其外心。則O到ABC各邊的距離之和為

其中r為內切圓半徑,R為外接圓半徑。這個定理叫做卡諾定理(法語:Théorème de Carnot),以拉扎爾·卡諾為名。

引理

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中,之外接圓半徑,且之內切圓半徑,則

證明

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假設為銳角三角形,之外接圓圓心,三邊之距離分別為,其中之距離,之距離,之距離。連接,在中,根據三角形外心性質,可以得到

所以,可以得到的表示式,

同理,亦可得到的表示式,

因此,

根據引理,即可得證,

此外,若為鈍角三角形,且大於度,其餘符號假設均與上面相同,則可以得到,

所以,

故得證卡諾定理。

參考資料

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