可加性

可加性是指對於某種變換來說，特定的「加法」和該變換的順序可顛倒而不影響結果，這樣一種性質。

例如對於兩個實數 x 和 y，我們可以先執行加法 x+y、後把結果乘以二；也可以先各自乘以二然後再相加，兩邊結果是一樣的。那麼我們說變換「乘以二」具有可加性。

定義

一個函數f:A→B，其定義域A和陪域B上分別定義了某種加法$+_{A}$和$+_{B}$。若該函數滿足：∀x,y∈A，有$f(x+_{A}y)=f(x)+_{B}f(y)$。則稱f對於$+_{A}$和$+_{B}$滿足可加性。在上下文對於$+_{A}$和$+_{B}$都很明確的情況下，通常簡稱為 f 滿足可加性，亦稱f為可加函數。

若上述函數f滿足：∀有限集$\{x_{i}|x_{i}\in A,i=1\cdots n\}$，有$f\left(\sum _{k=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}f(x_{i})$，則稱f滿足有限可加性。

若上述函數f滿足：∀可列集$\{x_{i}|x_{i}\in A,i=1\cdots \infty \}$，有$f\left(\sum _{k=1}^{\infty }x_{i}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }f(x_{i})$，則稱f滿足可列可加性。

示例

• 定積分的可加性：設 $a\leqslant b\leqslant c$，那麼$\int _{a}^{b}f(x)\operatorname {d} \!x+\int _{b}^{c}f(x)\operatorname {d} \!x=\int _{a}^{c}f(x)\operatorname {d} \!x$——積分區間是可加的。
• 集函數的可加性：定義域為集類S，值域為[0, ∞]上的廣義實值集函數f，若：
  • $\forall A,B\in S$，有$f(A\cup B)=f(A)+f(B)$，則稱f為可加的。
  • $\forall {A_{i}}\in S,i=1\cdots n$，有$f\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}f(A_{i})$，則稱f為有限可加的。
  • $\forall {A_{i}}\in S,i=1\cdots \infty$，有$f\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }f(A_{i})$，則稱f為可列可加的。