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捨入誤差

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捨入誤差(英語:round-off error),是指運算得到的近似值精確值之間的差異。比如當用有限位數的浮點數來表示實數的時候(理論上存在無限位數的浮點數)就會產生捨入誤差。捨入誤差是量化誤差的一種形式。 如果在一系列運算中的一步或者幾步產生了捨入誤差,在某些情況下,誤差會隨着運算次數增加而積累得很大,最終得出沒有意義的運算結果。

表示誤差

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把一個浮點數在計算機中表示,可能會引起誤差,這樣的誤差叫做表示誤差。例如:

數學表達式 精確值 近似值 誤差
1/7 0.142 857OEIS數列A020806 0.142 857 0.000 000 142 857
ln 2 0.693 147 180 559 945 309 41...  (OEIS數列A002162 0.693 147 0.000 000 180 559 945 309 41...
log10 2 0.301 029 995 663 981 195 21...  (OEIS數列A007524 0.3010 0.000 029 995 663 981 195 21...
 2  1.259 921 049 894 873 164 76...  (OEIS數列A002580 1.25992 0.000 001 049 894 873 164 76...
 2  1.414 213 562 373 095 048 80...  (OEIS數列A002193 1.41421 0.000 003 562 373 095 048 80...
e 2.718 281 828 459 045 235 36...  (OEIS數列A001113 2.718 281 828 459 045   0.000 000 000 000 000 235 36...
π 3.141 592 653 589 793 238 46...  (OEIS數列A000796 3.141 592 653 589 793 0.000 000 000 000 000 238 46...

增加數字位數可以減少可能會產生的捨入誤差,但是位數是有限的,在表示無限浮點數時仍然會產生誤差。在用常規方法表示浮點數的情況下,這種誤差是不可避免的,但是可以通過設置警戒位來減小。

多步捨入會增加捨入誤差,例如數字9.945309在輸入時被捨入到小數點後兩位 (9.95),顯示時再捨入到小數點後一位 (10.0),捨入誤差是0.054691。如果原來的數隻經過一步捨入到小數點後一位 (9.9),捨入誤差僅為0.045309。

IEEE二進制浮點數算術標準中定義了以下幾種捨入規則:

  • 朝0方向捨入: 即截尾,直接將需要精確的位數以後的數位捨去。
0.142857 ≈ 0.142 (將小數點後第3位以後的數位全部捨去)
  • 捨入到最接近: 即四捨五入,結果可能會變大或變小。
0.142857 ≈ 0.143 (因小數點後第4位,所以小數點後第3位加1)
0.142857 ≈ 0.14 (因小數點後第3位,所以直接捨去)
  • 朝-∞方向捨入: 總是向數軸的左方向捨入。
  • 朝+∞方向捨入: 總是向數軸的右方向捨入。

舉例

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  • 1990年2月25日,海灣戰爭期間,在沙特阿拉伯宰赫蘭愛國者導彈防禦系統因浮點數捨入錯誤而失效,該系統的計算機精度僅有24位,存在0.0001%的計時誤差,所以有效時間闕值是20個小時。當系統運行100個小時以後,已經積累了0.3422秒的誤差。這個錯誤導致導彈系統不斷地自我循環,而不能正確地瞄準目標。結果未能攔截一枚伊拉克飛毛腿導彈,飛毛腿導彈在軍營中爆炸,造成28名美國陸軍死亡。[1] [2]
  • 1996年6月4日,在亞利安五號運載火箭發射後37秒,偏離預定軌道而炸毀。原因是軟件系統試圖將64位浮點數轉換為16位浮點數,造成溢出錯誤。[1]
  • 溫哥華證券交易所曾開發了一項股票指數. 當其在1982年推出時,指數的值是1000.000。在後來的重新計算時多次運用捨入到小數點後三位的操作。22個月以後,指數的值是524.881,然而事實上應該是1009.811。[1]

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Weisstein, Eric W. (編). Roundoff Error. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2010-06-17]. (原始內容存檔於2020-11-11) (英語). 
  2. ^ Liam McBrien; Craig McNulty. The Patriot Missile Disaster – What Went Wrong? (pdf). Dr Mark Dunlop, University of Strathclyde. [2010-06-17]. (原始內容存檔 (PDF)於2011-07-19). 

外部連結

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參見

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