最後一位上的單位值

在計算機科學與數值分析中，最後一位上的單位值或稱最小精度單位，縮寫為ULP，是毗鄰的浮點數值之間的距離，也即浮點數在保持指數部分的時候最低有效數字為1所對應的值。ULP用於度量數值計算的精度。

例如：圓周率位於毗鄰的雙精度浮點數3.1415926535897927與3.1415926535897936之間。

定義

設底數為b，如果x的指數為E，那麼ULP(x) = 機器精度·b^E。但在計算機與數值計算的文獻中，對ULP，指數與機器精度也可用其它方式定義。如John Harrison給出的定義: ULP(x)是兩個最近的跨（straddling）x的浮點數a與b的距離，即a ≤ x ≤ b且a ≠ b，並且在指數無上限的情形。這兩個定義基本等價。

被所有現代浮點硬件遵從IEEE 754標準要求基本算術運算（1985年起的加法、減法、乘法、除法、求平方根，以及2008年起的「積和熔加運算（FMA）」）的結果近似到最近的浮點數且與數學確切結果的距離在0.5 ULP範圍內。這性質意味着近似結果與數學確切結果的距離是最小的（但對於居中情形，有兩個毗鄰的浮點數都滿足上述要求）。有美譽的數值庫（numeric library）計算基本超越函數的誤差在0.5至大約1 ULP間。僅有少數庫在計算超越函數時的誤差小於0.5 ULP，這一問題相當複雜，歸因於Table-Maker's Dilemma。

例子

找到最接近圓周率的雙精度浮點數：

#include <cmath> 
#include <cstdio> 
#define PI 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230 

int main() 
{
    printf("%.17g (%a)\n", PI, PI); 
    printf("%.17g (%a)\n", std::nextafter(PI, 0.0), std::nextafter(PI, 0.0)); 
    printf("%.17g (%a)\n", std::nextafter(PI, 4.0), std::nextafter(PI, 4.0)); 
}
/* Output:
3.1415926535897931 (0x1.921fb54442d18p+1)
3.1415926535897927 (0x1.921fb54442d17p+1)
3.1415926535897936 (0x1.921fb54442d19p+1)
*/

設x用IEEE 754表示時四捨五入且捨入到偶數的操作記為RN。如果ULP(x)的值小於等於1，那麼RN(x + 1) > x；否則，RN(x + 1) = x或RN(x + 1) = x + ULP(x)，取決於最低有效位（least significant digit）與x的指數部分。下面的Python程序展示了這個例子：

>>> x = 1.0
>>> p = 0
>>> while x != x + 1:
...   x = x * 2
...   p = p + 1
... 
>>> x
9007199254740992.0
>>> p
53
>>> x + 2 + 1
9007199254740996.0

這個例子中，從x = 1開始，反覆地翻倍直至x = x + 1。結果是2⁵³，因為雙精度浮點數格式使用了53位有效數字，從而ulp(2⁵³)=2⁵³*2^-52=2 > 1 。即，在這裡雙精度浮點數可表示的最小精度間隔已經是2了。

語言支持

從Java 1.5, Java語言的標準庫包含了函數： Math.ulp(double)與 Math.ulp(float)。

C語言標準庫從C99開始提供了計算給定方向的下一個浮點數的函數： nextafterf與nexttowardf用於float, nextafter與nexttoward用於double, nextafterl與nexttowardl用於long double, 都在<math.h>中聲明。

Boost C++ Libraries提供了boost::math::float_next, boost::math::float_prior, boost::math::nextafter與boost::math::float_advance等函數獲取鄰近的浮點數。 。boost::math::float_distance(a, b)計算兩個double值之間的浮點距離。

參見

• IEEE 754
• 最低有效位 (LSB)
• 機器精度

參考文獻

• Goldberg, David (1991-03). "Rounding Error" in "What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic". Computing Surveys, ACM, March 1991. Retrieved from https://web.archive.org/web/20160406101256/http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html#689.