科摩哥洛夫-史密諾夫檢定

科摩哥洛夫-史密諾夫檢定，簡稱K-S檢定（英語：Kolmogorov-Smirnov test，簡稱K-S test），是一種基於累計分布函數的非參數檢驗，用以檢驗兩個經驗分布是否不同或一個經驗分布與另一個理想分布是否不同。本檢定以安德雷·柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov，俄語：Колмогоров）和尼古拉·斯米爾諾夫（Smirnov，俄語：Смирнов）之名作命名。

柯爾莫哥洛夫分布

柯爾莫哥洛夫分布（kolmogorov distribution）是隨機變量

$K=\sup _{t\in [0,1]}|B(t)|,$

的分布，其中 $B(t)$ 是布朗橋。K的累積分布函數由下式給出

$\operatorname {Pr} (K\leq x)=1-2\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {2\pi }}{x}}\sum _{i=1}^{\infty }e^{-(2i-1)^{2}\pi ^{2}/(8x^{2})}.$

柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢驗的統計量形式及其在零假設下的漸近分布是由安德雷·柯爾莫哥洛夫提出的。

參考文獻

• Justel, A., Peña, D. and Zamar, R. (1997) A multivariate Kolmogorov-Smirnov test of goodness of fit, Statistics & Probability Letters, 35(3), 251-259.
• Eadie, W.T.; D. Drijard, F.E. James, M. Roos and B. Sadoulet. Statistical Methods in Experimental Physics. Amsterdam: North-Holland. 1971: 269–271. ISBN 0-444-10117-9. 
• Stuart, Alan; Ord, Keith; Arnold, Steven [F.]. Classical Inference and the Linear Model. Kendall's Advanced Theory of Statistics 2A Sixth. London, New York: Arnold, Oxford University Press. 1999: 25.37–25.43. ISBN 0-340-66230-1. MR 1687411. 
• Corder, G.W., Foreman, D.I. (2009).Nonparametric Statistics for Non-Statisticians: A Step-by-Step Approach Wiley, ISBN 978-0-470-45461-9
• Stephens, M.A. (1979) Test of fit for the logistic distribution based on the empirical distribution function, Biometrika, 66(3), 591-5.

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Kolmogorov-Smirnov test, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Short introduction （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• KS test explanation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• JavaScript implementation of one- and two-sided tests （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Online calculator with the K-S test （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Open-source C++ code to compute the Kolmogorov distribution （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） and perform the K-S test （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Paper on Evaluating Kolmogorov’s Distribution （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）; contains C implementation. This is the method used in Matlab.