樣本均值

樣本均值是由一個或多個隨機變數中得到的統計量，樣本均值是一個向量，其中的每個元素都是針對隨機變數取樣後得到的算術平均數。若只考慮一個隨機變量，則樣本均值為一個純量，是隨機變數觀測值的算術平均。

定義

令$x_{ij}$為第j個隨機變數（j=1,...,K）在第i次觀測（i=1,...,N）到的值，所有觀測值可以重組為N個K ×1的向量，其中第i次觀測的所有數據用$\mathbf {x} _{i}$表示（i=1,...,N）。

算術平均向量$\mathbf {\bar {x}}$的第j個元素${\bar {x}}_{j}$是第j個隨機變數在N次觀測值的平均值：

${\bar {x}}_{j}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{ij},\quad j=1,\ldots ,K.$

因此算術平均向量包括所有隨機變數的平均值，可以用以下方式表示：

$\mathbf {\bar {x}} ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\mathbf {x} _{i}.$

樣本均值是隨機向量$\textstyle \mathbf {X}$期望（若存在）的無偏估計，隨機向量是一個列向量，其中第j個元素(j = 1, ..., K)為第j個隨機變數。

樣本均值因為是用所有的觀測值計算而得，稍微和每次的觀測值有關。若母體平均$\operatorname {E} (\mathbf {X} )$已知，其無偏估計值

$q_{jk}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{ij}-\operatorname {E} (X_{j})\right)\left(x_{ik}-\operatorname {E} (X_{k})\right),$

用到母體平均，其分母為$\textstyle N$。

樣本均值的方差

本節中總假定出現的均值和方差都是存在的。對於每個隨機變數，樣本均值是母體平均的良好估計函數，其中的良好是指有效及無偏差。當然樣本均值不會是統計母體真實均值的正確值，因為從同一個分佈中不同的取様會產生不同的樣本均值，也就對真實均值有不同的估計。因此樣本均值也是隨機變數，不是常數，因此也會有其分佈隨機變數。針對第j個隨機變數N次觀測的隨機取様，其樣本均值分佈的均值會等於母體均值$E(X_{j})$，而其變異數會等於${\frac {\sigma _{j}^{2}}{N}}$，其中$\sigma _{j}^{2}$是隨機變數X_j的變異數。

評論

樣本均值廣為使用在統計學及相關應用中，不過也有其缺點。樣本均值不是穩健統計，容易受異常點影響。在真實世界的應用中，一般會期望數據有穩健的性質，有其他方式可以計算類似樣本均值的統計量，但又比樣本均值要穩健，可以得到一些常見的量化統計量，例如樣本眾數和位置參數有關。其他的替代品包括Winsorising及修整估計量，例如Winsorized平均及修整平均。