複化

數學中，實數域上的向量空間V的複化是在複數域上對應的向量空間V^C，就是說它有與V相同的維數，V在實數域上的基可以作為V^C在複數域上的基。

例如設V包含m×n實矩陣，則V^C包含m×n複矩陣。

不依賴於基的定義是取V和複數在實域上的張量積：

$V^{C}=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$。

複向量空間$V^{C}$有額外結構：典範複共軛運算$\phi \$。因為$V$以$v\mapsto v\otimes 1$包含在$V^{C}$內，複共軛運算可定義為$\phi (v\otimes z)=v\otimes z^{*}$。這運算常記作$w^{*}$或${\overline {w}}$。

相反地，給出複向量空間$W$，並有複共軛運算$\phi \$，$W$作為複向量空間同構於$W$的實子空間$S=\{w\in W:\phi (w)=w\}$的複化$S^{C}$。也就是說，所有帶有複共軛運算的複向量空間都是實向量空間的複化。

例如$W=\mathbb {C}$有標準共軛運算$\phi (z)=z^{*}\$，那麼$S=\mathbb {R}$。