達布變換(Darboux Transformation)是1882年法國數學家達布發現的一種求偏微分方程精確顯式解的變換法。達布變換在求KdV方程,MKdV方程,高維AKNS系統,sine-Gordon方程,sinh-Gordon方程,高階Broer Kaup系統的精確解方面,有廣泛用途。
1882年,達布研究一維薛定諤方程的特徵值問題:[1]
![{\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -u(x)\phi =\lambda \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce74b7d6638ab6ad758ca9c531848c76f6b36bf7)
他發現作一個變換:
![{\displaystyle (u,\phi )\to (u',\phi ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c49cfb91ab72b5d6da476cb857bc03bd03a510)
其中
其中
是
時一維薛定諤方程的解,
則當
時,
和
必定滿足另一個相關的一維薛定諤方程:
λ![{\displaystyle \phi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5304c739c4deec1d259e3235a419e6177fe77a)
達布變換也稱為Bäcklund變換,其特點在於根據已知的一個解作為種子,經過變換之後,獲得完全可積的新方程組,由此得出另一個新的解。[2]。
1977年Wahlquist等學者發現[3],達布變換也適用於KdV方程,從而將薛定諤方程的達布變換推廣為KdV方程的達布變換[4]
KdV方程:
![{\displaystyle \partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\phi \partial _{x}\phi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af6b0d69c21d9c98c968cba458dc8f663b5af020)
是其LAX對的可積條件:
![{\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -u\phi =\lambda \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c599541ec04ab22cd3af4b5916aed0d18bcfc4)
![{\displaystyle \partial _{t}\phi =-4\partial _{x}^{3}\phi -6u\partial _{x}\phi -3\partial _{x}u\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2c2bee4d282566e0071a4b5380b646a6cf5586)
經過達布變換(u,Φ)→(u',Φ')得到
![{\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi '-u'\phi =\lambda \phi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc129fdc9dc5acf1e2934630da1f8c93896eba0)
![{\displaystyle \partial _{t}\phi '=-4\partial _{x}^{3}\phi '-6u'\partial _{x}\phi '-3\partial _{x}u'\phi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bc4fcc4d69ae7d6f1e6c35233e7777ac11b415)
因此,只要從LAX對求得一個解
,然後通過達布變換(u,Φ)→(u',Φ')就可以得到KdV方程的新解,還可以不斷進行連鎖式達布變換(u,Φ)→(u',Φ')→(u,Φ)→(u,Φ)……以得到KdV方程大量的解。<ref谷超豪《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》2-3頁上海科學技術出版社</ref>
負常曲率曲面
十九世紀八十年代發現一個負常曲率曲面是Sine-Gordon方程一個非零解,又發現通過Bäcklund變換可以從一個負常曲率曲面得到另一個負常曲率曲面[5]。
- ^ 谷超豪《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》1-2頁,上海科學技術出版社
- ^ 閻振亞《複雜非線性波的構造性理論及其應用》7頁,科學出版社,2007年
- ^ Wahlquist et al, Bäcklund transformation for solitons of the Kortweg-de Vries Equation, Phys Rev Lett 1973,31:1386
- ^ 谷超豪《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》2-4頁上海科學技術出版社
- ^ 谷超豪《孤立子理論中的達布變換及其幾何應用》160頁上海科學技術出版社