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邏輯矩陣

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邏輯矩陣(或者布爾矩陣)是由布爾域B = {0, 1}組成的矩陣。這樣的矩陣可以用來表示一對有限集合之間的二元關係

關係的矩陣表示

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如果R是有限集合XY之間的一個二元關係( RX×Y),那麼R可以用矩陣M來表示,M的行索引和列索引由XY兩個集合分別給出。M的元素定義如下:

注意,在以上定義中,假設了矩陣索引可以出自任意有限集合。如果要求索引是來自某集合 {1, 2, ..., n}的整數,必須用一個n維的有限集合與集合 {1, 2, ..., n}的雙射(一一對應)來把原來集合的元素表示成整數。

例子

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自然數集合{1, 2, 3, 4}的二元關係整除由以下自然數對集合組成:

{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.

相應的布爾矩陣表示為:

一些性質

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表示有限集合上的相等關係矩陣是單位矩陣,即對角線的元素均為1,其他元素為0。

如果布爾域被看作是半環的,加法對應於邏輯或,乘法對應於邏輯與,兩個關係的合成的矩陣表示等於表示這些關係的矩陣的矩陣乘法