馬施克定理

Heinrich Maschke

在代數中，馬施克定理是有限群表示論中基本的定理之一。

定理

若$V$是域$K$上的有限維線性空間，$(V,\rho )$是有限群$G$的表示, $U_{0}$是$V$的$G$不變子空間, $K$的特徵不能整除$G$的階，

則存在$V$中的$G$不變子空間$W$，使得$V=W\oplus U_{0}$，從而$(V,\rho )$是完全可約的。

證明

$U_{0}$是$V$的子空間，所以存在$U_{0}$在$V$中的補空間$W_{0}$，及投影$P_{0}$, $Q_{0}$，使得

$U_{0}=P_{0}V$

$W_{0}=Q_{0}V$

$P_{0}^{2}-P_{0}=Q_{0}^{2}-Q_{0}=P_{0}Q_{0}=Q_{0}P_{0}=0$

$P_{0}+Q_{0}=1$

由條件「$K$的特徵不能整除$G$的階」，令$N=|G|$，則$N$是域$K$中的可逆元。

定義新的投影算子

$P=N^{-1}\sum _{g\in G}gP_{0}g^{-1}$

$Q=N^{-1}\sum _{g\in G}gQ_{0}g^{-1}$

則

$P+Q=1$

$P^{2}=P$

$Q^{2}=Q$

$PQ=QP=0$

於是

$V=U\oplus W$

其中 $U={\textrm {Im}}{P}$， $W={\textrm {Im}}{Q}$

由$P$的定義 $U={\textrm {Im}}P\subseteq U_{0}$

另一方面可以直接驗證 $\forall u=P_{0}v\in U_{0},Qu=QP_{0}v=0$ 從而 $U_{0}\subseteq {\textrm {Ker}}Q={\textrm {Im}}P=U$

故 $U=U_{0}$

$V=U_{0}\oplus W$

注意到$\forall g\in G,gQ=Qg$

$W$是$G$不變子空間。

證畢。

參考

• 丘維聲. 有限群和紧群的表示论 (PDF). 北京大學出版社. 1997: 21.