黎曼-西格爾公式

在數學中，黎曼-西格爾公式是黎曼ζ函數的近似函數方程誤差的漸近公式，前者是ζ函數的近似值，由兩個有限狄利克雷級數的和來近似。Siegel (1932)在波恩哈德·黎曼1850年代一篇未發表的手稿中發現這個公式。西格爾從黎曼-西格爾積分公式中推導出它，這是一個涉及ζ函數圍道積分的表達式。該公式通常用於計算黎曼-西格爾公式的值，與歐德里茲科-肖恩哈格算法相結合，可以大大加快算法的速度。當沿着臨界線使用時，通常將其變換為關於Z函數的公式比較有用。

如果M和N是非負整數，那麼ζ函數等於

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)$

其中

$\gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}$

是函數方程ζ(s) = γ(1-s) ζ(1 − s)中出現的因數，且

$R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}dx$

是一個圍道積分，圍道的起點和終點在+∞處，並最多繞絕對值奇點2πM圈。近似函數方程給出了誤差項大小的估計。Siegel (1932)和Edwards (1974)通過將最速下降法應用於該積分，推導出黎曼-西格爾公式，將誤差項R(s)漸近展開為Im(s)的負冪次級數。在應用中，s通常位於臨界線上，並且選擇正整數M和N約為(2πIm(s))^1/2。Gabcke (1979)發現了一個黎曼-西格爾公式誤差的較好界限。

黎曼積分公式

黎曼證明了

$\int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}$

積分圍道是一條斜率為-1的線，通過0和1之間（Edwards 1974，7.9）。

他用此給出了以下ζ函數的積分公式：

$\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx$

參考

• Berry, Michael V., The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders, Proceedings of the Royal Society. London. Series A. Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1995, 450 (1939): 439–462, ISSN 0962-8444, MR 1349513, Zbl 0842.11030, doi:10.1098/rspa.1995.0093 
• Edwards, H.M., Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics 58, New York-London: Academic Press, 1974, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035 
• Gabcke, Wolfgang, Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel, Georg-August-Universität Göttingen, 1979, Zbl 0499.10040 （德語） 
• Patterson, S.J., An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 14, Cambridge: Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-33535-3, Zbl 0641.10029 
• Siegel, C. L., Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2, 1932: 45–80, JFM 58.1037.07, Zbl 0004.10501  Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

外部連結

• Gourdon, X., Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, [2018-04-13], （原始內容存檔於2018-03-29） 
• 埃里克·韋斯坦因. 黎曼-西格尔公式. MathWorld.