普朗歇爾定理

普朗歇爾定理（又稱帕塞瓦爾-普朗歇爾恆等式 ）是調和分析的重要定理，由米歇爾·普朗歇爾於1910年證明。它指出函數平方的積分等於其頻譜的平方的積分。也就是說，如果$f(x)$是實數線上的函數，並且${\widehat {f}}(\xi )$是它的頻譜，那麼

$$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi ,$$

或者寫成$L^{2}$範數:

$$||f(x)||_{L^{2}}=||{\hat {f}}(\xi )||_{L^{2}}$$

數學上更嚴格的描述是，令函數$f$同時屬於兩個L ^p空間$L^{1}(\mathbb {R} )$和$L^{2}(\mathbb {R} )$ ，那麼它的傅里葉變換${\hat {f}}$屬於$L^{2}(\mathbb {R} )$， 且為$L^{2}(\mathbb {R} )$中的等距變換。

這代表限制在$L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )$上的傅里葉變換有一個唯一的等距擴張$L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )$，有時候這個擴張也被稱為普朗歇爾變換。此變換同時也是幺正的，透過此變換，我們便可以好好的在平方可積函數上討論傅里葉變換。

普朗歇爾定理可以被推廣到n維歐氏空間以及局部緊阿貝爾群上，若是滿足一些其他的假設，普朗歇爾定理有另一個版本在非交換局部緊緻群上成立，更多細節可以參考非交換調和分析。

由於在$L^{2}(\mathbb {R} )$上內積與範數是相容的，我們也可以把普朗歇爾定理應用到$L^{2}(\mathbb {R} )$的內積上。也就是說，如果$f(x)$、$g(x)$是兩個在$L^{2}(\mathbb {R} )$內的函數，${\mathcal {P}}$表示普朗歇爾變換，則

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,$$

而如果$f(x)$和$g(x)$屬於$L^{1}(\mathbb {R} )$，有

$$({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$$

以及

$$({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$$

所以

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .$$

參見

• 應用於球帶函數的普朗歇爾定理

參考

• Plancherel, Michel, Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1910, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877 .
• Dixmier, J., Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars, 1969 .
• Yosida, K., Functional Analysis, Springer Verlag, 1968 .

外部連結

• Plancherel's Theorem on Mathworld