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已知$\tan x+\tan y+\tan z=\tan x\times \tan y\times \tan z$，證明$x+y+z=n\pi$，其中n為整數。

一個常見的三角函數定理證明題的逆定理，不知怎麼下手比較漂亮。謝謝！

$\tan x+\tan y=\tan(x+y)(1-\tan x\tan y)=\tan(x+y)-\tan(x+y)\tan x\tan y$（和角公式）①

①式两边同时减去$tan(x+y)$，得：

$\tan x+\tan y-tan(x+y)=-\tan(x+y)\tan x\tan y$ ②

若x, y其中至少一个角是锐角，则设x, y是某三角形的两个内角，另一个内角为z'：

则$z'=\pi -(x+y)$，所以$\tan(x+y)=-\tan z'$

所以②式可转换为$\tan x+\tan y+tanz'=\tan z'\tan x\tan y$

又因为已知条件$\tan x+\tan y+tanz=\tan x\tan y\tan z$

可得$z=z'+m\pi$ （m为整数）

所以$x+y+z=x+y+z'+m\pi =\pi +m\pi =n\pi$

若x, y都是钝角，则设π-x, π-y是某三角形的两个内角，另一个内角为z'：

则$z'=\pi -(\pi -x+\pi -y)=(x+y)-\pi$，所以$\tan(x+y)=\tan z'$

所以②式可转换为$\tan x+\tan y-tanz'=-\tan z'\tan x\tan y$

又因为已知条件$\tan x+\tan y+tanz=\tan x\tan y\tan z$

可得$z'=o\pi -z$ （o为整数）

所以$(\pi -x+\pi -y)+z'=(\pi -x+\pi -y)+o\pi -z=\pi$

$x+y+z=(o+1)\pi =n\pi$

請問如何由$\tan x+\tan y+tanz'=\tan z'\tan x\tan y$與$\tan x+\tan y+tanz=\tan x\tan y\tan z$，得知$z=z'+m\pi$ （m为整数）呢？

另外，「x, y其中至少一个角是锐角」未必能假設「x, y是某三角形的两个内角」吧？例如$x={\frac {5\pi }{12}},y={\frac {3\pi }{4}}$時，x, y就不會是(歐幾里得幾何中)任何三角形的两个内角，因為爆表了。而且敝人懷疑考慮三角形的必要性(一定要考慮三角形嗎？)

确实不用考虑三角形，是我想复杂了，而且还不严谨，没考虑到“爆表”的情况。

$\tan x+\tan y-\tan(x+y)=-\tan(x+y)\tan x\tan y$

$\tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z$

两式相减，得：

$\tan z+\tan(x+y)=[\tan z+\tan(x+y)]\tan x\tan y$

要使得等式成立，要么$\tan z+\tan(x+y)=0$，即$\tan z=-\tan(n\pi -z)=-\tan(x+y)$

即$n\pi -z=x+y$，即$n\pi =x+y+z$

要么$\tan x\tan y=1$，这样$\tan x+\tan y+\tan z=\tan z$，$\tan x+\tan y=0$，然而，实数范围内找不到两个相乘得1，相加得0的数字，所以不存在$\tan x\tan y=1$的可能。

若$\tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z,$

$\tan(x+y+z)={\frac {\tan x+\tan y+\tan z-\tan x\tan y\tan z}{1-\tan x\tan y-\tan x\tan z-\tan y\tan z}}=0$

所以$x+y+z=n\pi$