使用者:Zhang Jun114514/沙盒

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導數的求導法則

由基本函數的和、差、積、商或相互複合構成的函數的導函數則可以通過函數的求導法則來推導。基本的求導法則如下：

• 求導的線性性：對函數的線性組合求導，等於先對其中每個部分求導後再取線性組合。

$(af+bg)'=af'+bg'\,$ （其中$a,b$為常數）

• 兩個函數的乘積的導函數，等於其中一個的導函數乘以另一者，加上另一者的導函數與其的乘積

$(fg)'=f'g+fg'\,$

• 兩個函數的商的導函數也是一個分式。
• 其中分子是分子函數的導函數乘以分母函數減去分母函數的導函數乘以分子函數後的差，而其分母是分母函數的平方。

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ （在$g(x)\neq 0$處方有意義）

• 複合函數的求導法則：如果有複合函數 $f(x)=h[g(x)]$，那麼

$f'(x)=h'[g(x)]\cdot g'(x).\,$

若要求某個函數在某一點的導數，可以先運用以上方法求出這個函數的導函數，再看導函數在這一點的值。

直角坐標系中的定義

設$P(x,y)$是平面直角坐標系$xOy$中的一個點，$\theta$是橫軸正向${\vec {Ox}}$逆時針旋轉到${\vec {OP}}$方向所形成的角，$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$是$P$到原點$O$的距離，則$\theta$的三個三角函數定義為：

正弦	餘弦	正切
$\sin \theta ={\frac {y}{r}}$	$\cos \theta ={\frac {x}{r}}$	$\tan \theta ={\frac {y}{x}}$

這樣可以對0到360度的角度定義三角函數。要注意的是以上的定義都只在定義式有意義的時候成立。比如說當$x=0$ 的時候，${\frac {y}{x}}$和${\frac {r}{x}}$都沒有意義，這說明對於90度角和270度角，正切和正割沒有定義。同樣地，對於0度角和180度角，餘切和餘割沒有定義。

三角函數的特殊值

如圖所示，大小為 $30^{\circ }$和 $45^{\circ }$的整數倍的$\theta$角和它們的精確正弦和餘弦值已被標註在單位圓上。$\theta$角均用弧度制和角度制表示。$\theta$角所對應的單位圓上的點的坐標為（$\cos \theta$，$\sin \theta$）。

函數名	$0\ (0^{\circ })$	${\frac {\pi }{6}}\ (30^{\circ })$	${\frac {\pi }{4}}\ (45^{\circ })$	${\frac {\pi }{3}}\ (60^{\circ })$	${\frac {\pi }{2}}\ (90^{\circ })$
$\sin$	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$
$\cos$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$
$\tan$	$0$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	$\pm \infty$

註：有時候$\pm \infty$會被寫作無定義(不存在)。

兩角和差公式

$\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\tan(\theta \pm \psi )={\frac {\tan \theta \pm \tan \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}$

二倍角公式

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \,$

$\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$

正弦定理和餘弦定理

正弦定理是三角學中的一個定理。它指出：對於任意$\triangle ABC$，$a$、$b$、$c$分別為$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的對邊，$R$為$\triangle ABC$的外接圓半徑，則有

${\frac {a}{\sin \angle A}}={\frac {b}{\sin \angle B}}={\frac {c}{\sin \angle C}}=2R$

一個三角形

餘弦定理是三角形中三邊長度與一個角的餘弦值（$\cos$）的數學式，參考右圖，餘弦定理指的是：

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

同樣，也可以將其改為：

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

其中$c$是$\gamma$角的對邊，而$a$和$b$是$\gamma$角的鄰邊。

勾股定理則是餘弦定理的特殊情況，當$\gamma$為$90^{\circ }$時，$\cos \gamma =0$，等式可被簡化為

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

當知道三角形的兩邊和一角時，餘弦定理可被用來計算第三邊的長，或是當知道三邊的長度時，可用來求出任何一個角。