在數學中,傅里葉正弦和餘弦變換是傅里葉變換不使用複數的表達形式。它們最初被約瑟夫·傅里葉使用並仍在某些應用中有所擅長,如信號處理和概率統計。
方程 f (t) 的傅里葉正弦變換,有時也被表示為
or
,有
![{\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \omega t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3531b59955c5833c384c6b06e33fb8d8d0656ab)
- 或
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(\omega t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6ca3eac3c795149fe1ce98cabae8ddd64617e3)
如果 t 代表時間,那麼 ω 就是單位時間周期內的頻率,但抽象來說,它們可以是互相關聯的任何一對變量。
這個變換必須是頻率的奇函數,即對所有的 ω:
![{\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\omega )=-{\hat {f}}^{s}(-\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfac753bc17fc8fb4e883490eaab0e80bed6fc9c)
傅里葉變換中的數值因子僅由它們的乘積定義。為了讓傅里葉逆變換公式不包含任何數值因子,因子 2 出現因為對正弦函數有
L2 norm of
方程 f (t) 的傅里葉餘弦變換,有時也被表示為
或
,有
![{\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \omega t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d9935043b2f465cf12629eb43b432b916e3f83)
這個變換必須是頻率的偶函數,即對所有的 ω:
![{\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\omega )={\hat {f}}^{c}(-\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64a146983a5f7c3faf47dd50fe6d8a520bbe79b)
一些著者[1]僅定義了 t 的偶函數的餘弦變換,在這種情形下正弦變換為 0。因為餘弦也是偶函數,所以可以使用更簡單的公式:
![{\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \omega t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c790adfc4b3515e50668dcb73fcbc9a16d91af)
相似地,如果 f 是奇函數,那麼餘弦變換就為 0 且正弦變換簡化為:
![{\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \omega t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405d5293fbe367ee527bd41426d41ab25b4a73cf)
傅里葉逆變換[編輯]
按照通常的假設,原始方程 f 可以從變換形式中復原。即 f 和它的兩種變換都是絕對可積的。更多不同的假設,參見傅里葉逆變換。
逆公式是[2]:
![{\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \omega t)d\omega +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \omega t)d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da2830ed07af4007fa033ee125a8a0dc1346de6)
它有一個優點是所有頻率都是正數且所有量都是實數。如果省略變換中的因子 2,那麼逆公式通常寫為正和負頻率的的積分。
用餘弦的變換公式,可以再表示為:
![{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}\left(f(x+0)+f(x-0)\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(\omega (t-x))dtd\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298fe72b5470343ac18b27acf0d21d73441e3022)
這裏 f (x + 0) 表示 f 當 x 從上方趨近於零的一邊極限。且 f (x − 0) 表示 f 當 x 從下方趨近於零一邊的極限。
如果原始方程 f 是偶函數,那麼正弦變換就為零;如果 f 是奇函數,那麼餘弦變換就為零。在任何一種可能中,逆變換方程都可以化簡。
與複指數的關係[編輯]
如今用得更為廣泛的傅里葉變換的形式是
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\nu )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos(2\pi \nu t)-i\,\sin(2\pi \nu t))\,dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt\right)\\&={\tfrac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\tfrac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cca576cb566f7ffbf2b3d8f2256385eb231995c)
相關條目[編輯]
- Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211
- ^ Mary L. Boas,在《Mathematical Methods in the Physical Sciences》,第二版,John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1
- ^ Poincaré, Henri. Theorie analytique de la propagation de chaleur. Paris: G. Carré. 1895: pp. 108ff. [2014-05-27]. (原始內容存檔於2017-08-07).