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垂足三角形

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三角形 ABC 為黑色,從 P 延伸出去的三條垂線為藍色,由此得到的垂足三角形 LMN 為紅色

幾何學上,垂足三角形(英語:Pedal triangle)是將一個點投影至三角形的邊上所得到的三角形。

具體地說,考慮一個三角形,選定一個異於頂點的點。通過對三角形的三邊做垂直線,將這些垂直線與的交點分別命名為,則三角形是一個垂足三角形。

性質

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如果不是鈍角三角形,則其垂足三角形的內角角度分別為[1]點位於三角形特殊中心上,則有一些特殊情況:

  • 垂心,則是垂心三角形(英語:Orthic triangle)。
  • 內心,則之內切圓的三個切點。
  • 外心,則中點三角形

點以三角形為基準的三線坐標,則其垂足三角形的頂點坐標為:

相關定理

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P 在外接圓上的情形,此時垂足三角形退化為一條線(紅色)
卡諾定理:紅色區域與藍色區域的面積相等

西姆松定理

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點位於外接圓上,則共線,反之亦然。這條線被稱為垂足線(英語:Pedal line),又稱為西姆松線(英語:Simson line)。

卡諾定理

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六點滿足以下等式:[2]

反垂足三角形

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三角形 ABC 為紅色,從 P 延伸至頂點的三條線為藍色,由此得到的反垂足三角形 LMN 為黑色

作一條垂直於的直線,過作一條垂直於的直線,過作一條垂直於的直線,則這三條直線構成的三角形稱為反垂足三角形(英語:Antipedal triangle)。在這個反垂足三角形中,設與相對的頂點為,與相對的頂點為,與相對的頂點為

點上的垂足三角形,這也是其名稱的由來。

點以三角形為基準的三線坐標,則反垂足三角形的頂點坐標為:[3]

一個特殊的例子是,如果點位於內心,則該反垂足三角形以的三個旁心為頂點。

參考資料

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  1. ^ Trigonometry/Circles and Triangles/The Pedal Triangle - Wikibooks, open books for an open world. en.wikibooks.org. [2020-10-31]. (原始內容存檔於2021-08-22). 
  2. ^ Alfred S. Posamentier; Charles T. Salkind. Challenging problems in geometry. New York: Dover. 1996: 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. (編). Antipedal Triangle. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2021-08-22]. (原始內容存檔於2021-08-22) (英語).