布朗面

布朗面是分形高程函數形成的分形面。^[1]^[2]^[3]

布朗面得名於布朗運動。

示例

以三維情形為例，給出兩個變量X、Y為坐標，任意兩點(x₁, y₁)、(x₂, y₂)之間的高程函數可置為具有隨(x₁, y₁)、(x₂, y₂)的向量距離增加而增加的平均值或期望值。^[1]不過，定義高程函數的方法有很多。例如，可以使用分數布朗運動變量，也可以使用各種旋轉函數來獲得看起來更自然的曲面。^[2]

分數布朗面的生成

高效地生成分數布朗面是一項重大挑戰。^[4]由於布朗面代表了具有非穩協方差函數的高斯過程，可以用科列斯基分解法。更有效的是Stein法，^[5]使用循環嵌入法生成輔助的穩態高斯過程，然後調整之，以得到所需的非穩態過程。下圖顯示了粗糙度或赫斯特指數不同時，3種典型實現的分數布朗面。赫斯特參數始終介於0和1之間，越接近1表面越光滑。這些曲面是用Stein法的Matlab實現（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）的。

另見

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 Russ, John C. Fractal surfaces, Volume 1. 1994: 167. ISBN 0-306-44702-9.
^ ^2.0 ^2.1 Xie, Heping. Fractals in rock mechanics. 1993: 73. ISBN 90-5410-133-4.
^ Vicsek, Tamás. Fractal growth phenomena. 1992: 40. ISBN 981-02-0668-2.
^ Kroese, D.P.; Botev, Z.I. Spatial Process Generation. Lectures on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields, Volume II: Analysis, Modeling and Simulation of Complex Structures, Springer-Verlag, Berlin. 2015: 369–404. Bibcode:2013arXiv1308.0399K. arXiv:1308.0399 . doi:10.1007/978-3-319-10064-7_12.
^ Stein, M. L. Fast and exact simulation of fractional Brownian motion. Journal of Computational and Graphical Statistics. 2002, 11 (3): 587–599. S2CID 121718378. doi:10.1198/106186002466.

[Russ-1] 1.0 ^1.1 Russ, John C. Fractal surfaces, Volume 1. 1994: 167. ISBN 0-306-44702-9.

[xie-2] 2.0 ^2.1 Xie, Heping. Fractals in rock mechanics. 1993: 73. ISBN 90-5410-133-4.

[3] Vicsek, Tamás. Fractal growth phenomena. 1992: 40. ISBN 981-02-0668-2.

[4] Kroese, D.P.; Botev, Z.I. Spatial Process Generation. Lectures on Stochastic Geometry, Spatial Statistics and Random Fields, Volume II: Analysis, Modeling and Simulation of Complex Structures, Springer-Verlag, Berlin. 2015: 369–404. Bibcode:2013arXiv1308.0399K. arXiv:1308.0399 . doi:10.1007/978-3-319-10064-7_12.

[Stein-5] Stein, M. L. Fast and exact simulation of fractional Brownian motion. Journal of Computational and Graphical Statistics. 2002, 11 (3): 587–599. S2CID 121718378. doi:10.1198/106186002466.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]