拿破崙問題
外觀
拿破崙問題(Napoleon's problem)是著名的圓規作圖問題,原題如下:
給定一圓和其圓心,只用圓規將此圓四等分。(此圓指的是圓周而不是圓面積)
此題目是由意大利數學家洛倫佐·馬斯凱羅尼向拿破崙·波拿巴提出的問題,但我們不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化,變成只給定一圓,只用圓規將此圓四等分,在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。
1672年,喬治·莫爾證明只要使用圓規就可以解決所有的尺規作圖[1],但此證明直到1928年才被發現。[2]
找出圓心
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fd/Pb_napoleon.png/400px-Pb_napoleon.png)
作法
[編輯]- 在已知的圓上找任意一點 A,以任意半徑畫弧 (必須和圓有交點,長度最好差不多有半圓那麼長,方便第三步作圖),交圓於 B'、B 兩點。
- 分別以B'、B為圓心, 、 為半徑,畫兩條弧 ,兩弧線相交於 A 點和 C 點。
- 再以 C 點為圓心、 為半徑,畫弧 ,交弧於 D'、D兩點。
- 以D'、D為圓心, 、 為半徑,畫兩條弧 ,兩弧線相交於A點和O點。(O點即圓的圓心)
證明
[編輯]設圓的半徑為,圓的半徑為,我們知道:
因為,所以
由於,可以得出
根據對稱性,通過圓心,又,所以是圓的圓心。
四等分圓
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Nap4.png/300px-Nap4.png)
作法
[編輯]由前面我們已經知道圓心的位置
- 在已知的圓上找任意一點 ,以為半徑畫弧 ,交圓於 、 兩點。
- 以 為圓心,為半徑畫弧 ,交圓於 點(和 點)。
- (繼續分別以 、 為圓心,、 為半徑畫弧,即可將圓六等分,)、、、 為四個六等分點(如圖)。
- 以 為圓心,為半徑畫弧 ;以 為圓心,為半徑畫弧 ,兩弧交於 點。
- 以 為圓心,取的長度 為半徑畫弧 ,交圓於 、 兩點。
- 、、、 四點將圓四等分。
證明
[編輯]設圓的半徑為,容易得出、、、、、、的長度都是,可以得出,根據畢氏定理可以得出,因此、、、四點將圓四等分。
參見
[編輯]註解
[編輯]- ^ Georg Mohr, Euclides Danicus (Amsterdam: Jacob van Velsen, 1672).
- ^ Schogt, J. H. (1938) "Om Georg Mohr's Euclides Danicus," Matematisk Tidsskrift A , pages 34-36.
參考資料
[編輯]- Napoleon's Problem (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)MathWorld
- 拿破崙分圓