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拿破崙問題

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拿破崙問題(Napoleon's problem)是著名的圓規作圖問題,原題如下:

給定一和其圓心,只用圓規將此圓四等分。(此圓指的是圓周而不是圓面積

此題目是由意大利數學家洛倫佐·馬斯凱羅尼拿破崙·波拿巴提出的問題,但我們不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化,變成只給定一圓,只用圓規將此圓四等分,在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。

1672年,喬治·莫爾英語Georg Mohr證明只要使用圓規就可以解決所有的尺規作圖[1],但此證明直到1928年才被發現。[2]

找出圓心

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→深藍、→紅、→綠、→紫、→藍

作法

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  1. 在已知的圓上找任意一點 A,以任意半徑 (必須和圓有交點,長度最好差不多有半圓那麼長,方便第三步作圖),交圓B'B 兩點。
  2. 分別以B'B為圓心, 為半徑,畫兩條弧 ,兩弧線相交於 A 點和 C 點。
  3. 再以 C 點為圓心、 為半徑,畫弧 ,交弧D'D兩點。
  4. D'D為圓心, 為半徑,畫兩條弧 ,兩弧線相交於A點和O點。(O點即圓的圓心)

證明

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設圓的半徑為,圓的半徑為,我們知道:

因為,所以

由於,可以得出

根據對稱性,通過圓心,又,所以是圓的圓心。

四等分圓

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作法

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由前面我們已經知道圓心的位置

  1. 在已知的圓上找任意一點 ,以為半徑畫弧 ,交圓於 兩點。
  2. 為圓心,為半徑畫弧 ,交圓於 點(和 點)。
  3. (繼續分別以 為圓心, 為半徑畫弧,即可將圓六等分,) 為四個六等分點(如圖)。
  4. 為圓心,為半徑畫弧 ;以 為圓心,為半徑畫弧 ,兩弧交於 點。
  5. 為圓心,取的長度 為半徑畫弧 ,交圓於 兩點。
  6. 四點將圓四等分。

證明

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設圓的半徑為,容易得出的長度都是,可以得出,根據畢氏定理可以得出,因此四點將圓四等分。

參見

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註解

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  1. ^ Georg Mohr, Euclides Danicus (Amsterdam: Jacob van Velsen, 1672).
  2. ^ Schogt, J. H. (1938) "Om Georg Mohr's Euclides Danicus," Matematisk Tidsskrift A , pages 34-36.

參考資料

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