拿破仑问题
外观
拿破仑问题(Napoleon's problem)是著名的圆规作图问题,原题如下:
给定一圆和其圆心,只用圆规将此圆四等分。(此圆指的是圆周而不是圆面积)
此题目是由意大利数学家洛伦佐·马斯凯罗尼向拿破仑·波拿巴提出的问题,但我们不知道他是否有解出这个问题。此题目后来又更加进化,变成只给定一圆,只用圆规将此圆四等分,在这种情况必须先用圆规作图找到圆心。以上两种都被称为拿破仑问题。
1672年,乔治·莫尔证明只要使用圆规就可以解决所有的尺规作图[1],但此证明直到1928年才被发现。[2]
找出圆心
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fd/Pb_napoleon.png/400px-Pb_napoleon.png)
作法
[编辑]- 在已知的圆上找任意一点 A,以任意半径画弧 (必须和圆有交点,长度最好差不多有半圆那么长,方便第三步作图),交圆于 B'、B 两点。
- 分别以B'、B为圆心, 、 为半径,画两条弧 ,两弧线相交于 A 点和 C 点。
- 再以 C 点为圆心、 为半径,画弧 ,交弧于 D'、D两点。
- 以D'、D为圆心, 、 为半径,画两条弧 ,两弧线相交于A点和O点。(O点即圆的圆心)
证明
[编辑]设圆的半径为,圆的半径为,我们知道:
因为,所以
由于,可以得出
根据对称性,通过圆心,又,所以是圆的圆心。
四等分圆
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Nap4.png/300px-Nap4.png)
作法
[编辑]由前面我们已经知道圆心的位置
- 在已知的圆上找任意一点 ,以为半径画弧 ,交圆于 、 两点。
- 以 为圆心,为半径画弧 ,交圆于 点(和 点)。
- (继续分别以 、 为圆心,、 为半径画弧,即可将圆六等分,)、、、 为四个六等分点(如图)。
- 以 为圆心,为半径画弧 ;以 为圆心,为半径画弧 ,两弧交于 点。
- 以 为圆心,取的长度 为半径画弧 ,交圆于 、 两点。
- 、、、 四点将圆四等分。
证明
[编辑]设圆的半径为,容易得出、、、、、、的长度都是,可以得出,根据毕氏定理可以得出,因此、、、四点将圆四等分。
参见
[编辑]注解
[编辑]- ^ Georg Mohr, Euclides Danicus (Amsterdam: Jacob van Velsen, 1672).
- ^ Schogt, J. H. (1938) "Om Georg Mohr's Euclides Danicus," Matematisk Tidsskrift A , pages 34-36.
参考资料
[编辑]- Napoleon's Problem (页面存档备份,存于互联网档案馆)MathWorld
- 拿破仑分圆