晶體學點群

在晶體學中，晶體學點群是對稱操作（例如旋轉、反映）的集合。這些操作以固定的中心向其他方向移動能使晶體復原，因此稱為對稱操作。對於一種真正的晶體（不是准晶體），點群對應的操作必須能夠保持晶體的三維平移對稱性。經過它的點群中任何操作之後，晶體的宏觀性質依然和操作前完全相同^[1]。在晶體的分類中，每一種點群也稱為晶類。

這樣看來似乎有無窮多種三維點群。然而，根據晶體局限定理可知，無窮多族的普通點群可以概括成32種晶體學點群。這32種點群與1830年約翰·弗里德里希·克里斯蒂安·赫塞爾提出的32種晶體形態學（外部）對稱性是等價的，而他是從觀察晶體外形得出的此結論。

晶體的點群和其他要素一起從結構上決定了晶體的物理性質具有各向異性，包括光學性質，例如某種晶體是否有雙折射性質，或者它是否表現出普克爾斯效應。

記號

點群表示的是晶體所包含的對稱元素。目前有多種不同的記號，分別由結晶學家、礦物學家、物理學家和化學家使用。

對於下面兩種不同系統的關係，請參見晶系。

熊夫利記號

在熊夫利中，點群是用字母符號加上數字下標表示的。下面簡述晶體學中使用的這種符號的意義^[2]：

C_n（循環群）表示該群有一根n次旋轉軸。C_nh是C_n加上一個與旋轉軸垂直的鏡面（反映）對稱元素。C_nv則是C_n加上n個與旋轉軸平行的鏡面對稱元素。
S_2n（源自德語Spiegel，意思是鏡面）表示一根只含有2n次旋轉反映軸（簡稱映軸）。
D_n（二面體群）表示這個群只有一根n次旋轉軸和n根垂直於這根主軸的二重軸。D_nh是加上一個與n次旋轉軸垂直的鏡面。D_nd則是D_n是加上n個與n次旋轉軸平行的鏡面。
字母T（四面體）表示這個群有四面體的對稱性。T_d則包括了旋轉反映操作，T群本身則不包含旋轉反映操作，T_h則是T群加上與旋轉軸垂直的鏡面。
字母O（八面體）表示該群具有八面體或者立方體的對稱性，可能包括（O_h）或不包括（O）旋轉反映操作。

根據晶體局限定理，在二維或三維空間中n的取值只有1、2、3、4和6。

n	1	2	3	4	6
C_n	C₁	C₂	C₃	C₄	C₆
C_nv	C_1v=C_1h	C_2v	C_3v	C_4v	C_6v
C_nh	C_1h	C_2h	C_3h	C_4h	C_6h
D_n	D₁=C₂	D₂	D₃	D₄	D₆
D_nh	D_1h=C_2v	D_2h	D_3h	D_4h	D_6h
D_nd	D_1d=C_2h	D_2d	D_3d	D_4d	D_6d
S_2n	S₂	S₄	S₆	S₈	S₁₂

D_4d和D_6d實際上是不存在的，因為它們分別包含了n=8和12的旋轉反映軸。表格中剩下的27種點群與T、T_d、T_h、O和O_h共同組成32種晶體學點群。

赫爾曼–莫甘記號

赫爾曼–莫甘記號的一種簡略形式廣泛用於表示空間群，也用於描述晶體學點群。群的名稱列在下表中；點群間相互之關係可見右圖。

1	1
2		²⁄_m	222	m	mm2	mmm
3	3		32	3m	3m
4	4	⁴⁄_m	422	4mm	42m	⁴⁄_mmm
6	6	⁶⁄_m	622	6mm	62m	⁶⁄_mmm
23	m3	432	43m	m3m

不同記號之間的對應關係

晶族	晶系	赫爾曼–莫甘（完整記號）	赫爾曼–莫甘（簡寫記號）	舒勃尼科夫^[3]	熊夫利	軌形記號	考克斯特記號	階
三斜		1	1	$1\$	C₁	11	[ ]⁺	1
三斜		1	1	${\tilde {2}}$	C_i = S₂	x	[2⁺,2⁺]	2
單斜		2	2	$2\$	C₂	22	[2]⁺	2
		m	m	$m\$	C_s = C_1h	*	[ ]	2
		$\color {Black}{\tfrac {2}{m}}$	2/m	$2:m\$	C_2h	2*	[2,2⁺]	4
正交		222	222	$2:2\$	D₂ = V	222	[2,2]⁺	4
		mm2	mm2	$2\cdot m\$	C_2v	*22	[2]	4
		$\color {Black}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	mmm	$m\cdot 2:m\$	D_2h	*222	[2,2]	8
四方		4	4	$4\$	C₄	44	[4]⁺	4
		4	4	${\tilde {4}}$	S₄	2x	[2⁺,4⁺]	4
		$\color {Black}{\tfrac {4}{m}}$	4/m	$4:m\$	C_4h	4*	[2,4⁺]	8
		422	422	$4:2\$	D₄	422	[4,2]⁺	8
		4mm	4mm	$4\cdot m\$	C_4v	*44	[4]	8
		42m	42m	${\tilde {4}}\cdot m$	D_2d	2*2	[2⁺,4]	8
		$\color {Black}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	4/mmm	$m\cdot 4:m\$	D_4h	*422	[4,2]	16
六方	三方	3	3	$3\$	C₃	33	[3]⁺	3
		3	3	${\tilde {6}}$	S₆ = C_3i	3x	[2⁺,6⁺]	6
		32	32	$3:2\$	D₃	322	[3,2]⁺	6
		3m	3m	$3\cdot m\$	C_3v	*33	[3]	6
		3 $\color {Black}{\tfrac {2}{m}}$	3m	${\tilde {6}}\cdot m$	D_3d	2*3	[2⁺,6]	12
	六方	6	6	$6\$	C₆	66	[6]⁺	6
		6	6	$3:m\$	C_3h	3*	[2,3⁺]	6
		$\color {Black}{\tfrac {6}{m}}$	6/m	$6:m\$	C_6h	6*	[2,6⁺]	12
		622	622	$6:2\$	D₆	622	[6,2]⁺	12
		6mm	6mm	$6\cdot m\$	C_6v	*66	[6]	12
		6m2	6m2	$m\cdot 3:m\$	D_3h	*322	[3,2]	12
		$\color {Black}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$	6/mmm	$m\cdot 6:m\$	D_6h	*622	[6,2]	24
立方		23	23	$3/2\$	T	332	[3,3]⁺	12
		$\color {Black}{\tfrac {2}{m}}$ 3	m3	${\tilde {6}}/2$	T_h	3*2	[3⁺,4]	24
		432	432	$3/4\$	O	432	[4,3]⁺	24
		43m	43m	$3/{\tilde {4}}$	T_d	*332	[3,3]	24
		$\color {Black}{\tfrac {4}{m}}$ 3 $\color {Black}{\tfrac {2}{m}}$	m3m	${\tilde {6}}/4$	O_h	*432	[4,3]	48