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沙滕範數

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泛函分析中,沙滕範數(Schatten norm,或沙滕–馮·諾依曼範數,Schatten–von-Neumann norm)來自p-可積的推廣,與跡類範數希爾伯特-施密特範數相似。

定義

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是希爾伯特空間,是(線性)有界算子。對,定義T的沙滕p-範數為

其中,平方根是算子平方根。

T是緊的、可分離,則

T奇異值(即厄米算子的特徵值)滿足

性質

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下面將p的範圍推廣到表示算子範數。指標的對偶是

  • 沙滕範數是酉不變的:對酉算子UV
  • 它們滿足赫爾德不等式使得,以及定義在希爾伯特空間之間的算子

滿足,則

.

赫爾德不等式的這後一個形式有更一般情形的證明(對非交換空間,而非沙滕-p類。[1]對於矩陣,見[2])。

  • 子乘性:、定義在希爾伯特空間之間的算子
  • 單調性:對於
  • 對偶性:令為有限維希爾伯特空間,q滿足,則
其中表示希爾伯特-施密特算子
  • 為希爾伯特空間的兩個正交基,則對

備註

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注意是希爾伯特-施密特範數(見希爾伯特-施密特算子),是跡類範數(見跡類算子),是算子範數(見算子範數)。 對,函數擬賦范空間的例子。

具有有限沙滕範數的算子稱作沙滕類算子,其空間記作。此範數下是巴拿赫空間,對是希爾伯特空間。

注意,後者即緊算子代數。這是因為,若和有限,則譜也有限或至多是可數無窮多,且以原點為極限點,因此是緊算子。

情形常稱作核範數(或跡範數、樊𰋀n-範數[3])。

另見

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矩陣範數#Schatten範數

參考文獻

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  1. ^ Fack, Thierry; Kosaki, Hideki. Generalized -numbers of -measurable operators. (PDF). Pacific Journal of Mathematics. 1986, 123 (2) [2024-05-23]. (原始內容存檔 (PDF)於2023-12-05). 
  2. ^ Ball, Keith; Carlen, Eric A.; Lieb, Elliott H. Sharp uniform convexity and smoothness inequalities for trace norms. Inventiones Mathematicae. 1994, 115: 463–482. S2CID 189831705. doi:10.1007/BF01231769. 
  3. ^ Fan, Ky. Maximum properties and inequalities for the eigenvalues of completely continuous operators. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1951, 37 (11): 760–766. Bibcode:1951PNAS...37..760F. PMC 1063464可免費查閱. PMID 16578416. doi:10.1073/pnas.37.11.760可免費查閱. 
  • Rajendra Bhatia, Matrix analysis, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
  • John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
  • Joachim Weidmann, Linear operators in Hilbert spaces, Vol. 20. Springer, New York, 1980.