瑞利-里茲法

瑞利-里茲法是廣泛應用於應用數學和機械工程領域的經典數值方法，它可以用來計算結構的低階自然頻率。瑞利-里茲法也廣泛應用於量子化學領域。

它是直接變分法的一種，其定義於賦范線性空間的函數最小值由其空間上的元素線性組成來估計。該方法可以用於求解解析解難以得到的問題。

在機械工程領域，它被用於計算多自由度系統（如彈簧-質量系統、變截面軸上的飛輪）大致的共振頻率；還可以計算圓柱體的折斷載荷。瑞利-里茲法是瑞利法的擴展。

以下的討論舉一個最簡單的例子（2個集中彈簧和2個集中質量，並只考慮2個模態振型）。因此 M = [m₁, m₂] 且 K = [k₁, k₂].

為該系統假設一個由兩項組成的模態振型，其中一個用因數 B加權。例如Y = [1, 1] + B[1, −1]。

簡諧運動理論認為撓度等於0時的速率為角頻率 $\omega$ 乘以最大撓度(y)。本例中，每個質量的動能(KE)等於 ${\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{1}^{2}m_{1}$ 等等，而每個彈簧的勢能(PE)等於 ${\frac {1}{2}}k_{1}Y_{1}^{2}$ 等等。對於連續系統，該表達式要麻煩得多。

因為引入了無阻尼假設，因此整個系統當y=0時的KE等於v=0時的PE。由於不存在阻尼，系統各點同時達到v=0的狀態。

因此，由KE = PE得：

\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{i}^{2}M_{i}\right)=\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {1}{2}}K_{i}Y_{i}^{2}\right)

注意模態振型的實際振幅總會從兩邊消去。也就是說，假設撓度的真正數值並不重要。我們在意的是振型。

由於 $\omega$ 與B有關，為了找到最小的 $\omega$ ，我們令 $d\omega /dB=0$ 。此時的B的取值可以使得 $\omega$ 最小。由于振型是假設的，通過該方法得到的 $\omega$ 是需要預測的基頻的上界。我們需要得到的是這個上界的最小值。

該方法有很多技巧，最重要的是試圖找到儘量真實的假設振型。例如在梁的撓曲問題中，使用一個儘量接近真實解得變形模態是明智的。對於大部分簡單的梁連接問題，即使振型的階次很低，一個四次的函數就足夠了。彈簧和質量並不必離散，它們可以是連續的或者是雜糅的。只要能夠描述分佈式的KE和PE，或把連續的單元離散，該方法可以很容易編程來找到複雜分佈式系統的自然頻率。

該方法可以反覆迭代使用，把附加的模態振型疊加到先前的最佳解上。也可以建立一個用許多參數B和振型組合的長表達式，最後對它們求偏導。

參見

外部連結

http://www.samparker.co.uk^{[永久失效連結]} - 鄧克萊法和瑞利法入門.
https://web.archive.org/web/20081010161336/http://www.math.nps.navy.mil/~bneta/4311.pdf - 變分法教程,其中有一章是關於瑞利-里茲法的.