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西姆松定理

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藍線(LM)為三角形 ABC 關於其外接圓上點 P 的西姆松線

西姆松定理(或譯西摩松定理西姆森定理)是幾何學中的一個定理,此定理描述:在平面中,給定一個三角形 ,以及 外接圓上的一點。則 分別對直線 作的三個垂足(右圖中的 )會共線

上述中的直線 稱為 關於 點的西姆松線(英語:Simson line,或譯西摩松線西姆森線

逆定理

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西姆松定理逆敘述也是正確的,其描述:給定平面中的 及一點 。若 三邊延長線的三個垂足共線,則 的外接圓上。

相關性質

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  • 的垂心為H。則 關於 的西姆松線和 的交點為 的中點,且此中點在九點圓上。
  • 兩點的西姆松線的交角等於該兩點的圓周角。
  • 若兩個三角形的外接圓相同,這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角,跟P的位置無關。

西姆松定理與西姆松的關係

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西姆松定理命名自蘇格蘭數學家 Robert Simson,然而西姆松是被誤認為定理的貢獻者[1],此定理實則由另一位蘇格蘭數學家威廉·華萊士所發表[2]

證明

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如圖,若L、M、N三點共線,連結BP,CP,則因PL垂直於BC,PM垂直於AC,PN垂直於AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分別四點共圓,有

角PBN = 角PLN = 角PLM = 角PCM

故A、B、P、C四點共圓。

若A、B、P、C四點共圓,則角PBN = 角PCM。因PL垂直於BC,PM垂直於AC,PN垂直於AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四點共圓,有

角PLN = 角PBN = 角PCM = 角PLM

故L、M、N三點共線。

參見

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外部連結

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參考資料

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  1. ^ THE WRITER OF THE NOTICE. Simson's Line. Nature. 30 October 1884 [2023-08-13]. doi:10.1038/030635a0. 
  2. ^ William Wallace. MacTutor History of Mathematics archive.