西姆松定理
外觀
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Pedal_line_illustration.svg/250px-Pedal_line_illustration.svg.png)
西姆松定理(或譯西摩松定理、西姆森定理)是幾何學中的一個定理,此定理描述:在平面中,給定一個三角形 ,以及 外接圓上的一點。則 分別對直線 、、 作的三個垂足(右圖中的 、、)會共線。
上述中的直線 稱為 關於 點的西姆松線(英語:Simson line),或譯西摩松線、西姆森線。
逆定理
[編輯]西姆松定理的逆敘述也是正確的,其描述:給定平面中的 及一點 。若 對 三邊延長線的三個垂足共線,則 在 的外接圓上。
相關性質
[編輯]- 令 的垂心為H。則 關於 的西姆松線和 的交點為 的中點,且此中點在九點圓上。
- 兩點的西姆松線的交角等於該兩點的圓周角。
- 若兩個三角形的外接圓相同,這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角,跟P的位置無關。
西姆松定理與西姆松的關係
[編輯]西姆松定理命名自蘇格蘭數學家 Robert Simson,然而西姆松是被誤認為定理的貢獻者[1],此定理實則由另一位蘇格蘭數學家威廉·華萊士所發表[2]。
證明
[編輯]如圖,若L、M、N三點共線,連結BP,CP,則因PL垂直於BC,PM垂直於AC,PN垂直於AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分別四點共圓,有
角PBN = 角PLN = 角PLM = 角PCM
故A、B、P、C四點共圓。
若A、B、P、C四點共圓,則角PBN = 角PCM。因PL垂直於BC,PM垂直於AC,PN垂直於AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四點共圓,有
角PLN = 角PBN = 角PCM = 角PLM
故L、M、N三點共線。
參見
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外部連結
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ THE WRITER OF THE NOTICE. Simson's Line. Nature. 30 October 1884 [2023-08-13]. doi:10.1038/030635a0.
- ^ William Wallace. MacTutor History of Mathematics archive.