陳-高斯-博內定理

在數學中，陳定理（或陳–高斯–博內定理，英語：Chern–Gauss–Bonnet theorem）以數學家陳省身、卡爾·弗里德里克·高斯、皮埃爾·奧西恩·博內（英語：Pierre Ossian Bonnet）的名字命名。此定理斷言：2n維黎曼流形的歐拉示性數可以從曲率計算出來。陳定理也是高斯–博內定理（n=1）在高維的推廣，其在數學和理論物理學中亦有許多應用。此定理由陳省身於1945年證出。陳定理將全局拓撲學與局部微分幾何聯繫起來。^[1]

定理[編輯]

若M是2n維的黎曼流形，陳定理為：^[2]^[3]

\chi (M)=\int _{M}e(\Omega )

$\chi (M)$ 是M的歐拉示性數, $\Omega$ 是M的曲率形式, 歐拉類 $e(\Omega )$ 則定義為

e(\Omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\operatorname {Pf} (\Omega ).

$\operatorname {Pf} (\Omega )$ 是普法夫值。^[4]

^ Chern, Shiing-shen. On the Curvatura Integra in a Riemannian Manifold. The Annals of Mathematics. October 1945, 46 (4): 674–684. JSTOR 1969203. doi:10.2307/1969203.
^ Morita, Shigeyuki. Geometry of Differential Forms. Translations of Mathematical Monographs 201. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2001-08-28. ISBN 9780821810453. doi:10.1090/mmono/201.
^ Schrödinger operators, with applications to quantum mechanics and global geometry. Cycon, H. L. (Hans Ludwig), 1942-, Simon, Barry, 1946-, Beiglböck, E., 1939-. Berlin: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0387167589. OCLC 13793017.
^ Bell, Denis. The Gauss–Bonnet theorem for vector bundles. Journal of Geometry. September 2006, 85 (1-2): 15–21. arXiv:math/0702162 . doi:10.1007/s00022-006-0037-1.