在泛函分析中,香農小波(英語:Shannon wavelet)(或Sinc小波)是由理想帶通濾波器進行信號分析定義的信號分解方法。香農小波可以是實小波,也可以是復小波。
香農小波在時域局域化特性不好(時域非緊支撐),但其傅里葉變換是帶限的(頻域是緊支撐)。因此香農小波的時間定位性能較差,但頻率定位性能良好。這些特徵恰好與哈爾小波相反,因為Haar和sinc系統是彼此的傅里葉對偶。
香農小波的構建從Sinc函數開始。
尺度函數[編輯]
首先由sinc函數定義香農小波的尺度函數:
其伸縮和平移為:
其中,
為伸縮和平移的參數。
尺度函數的傅里葉變換為:
其中(歸一化的)矩形函數定義為:
尺度函數在傅里葉域中的伸縮和平移定義為:
母小波[編輯]
由尺度函數
和多解像度近似,我們可以得出香農母小波在傅里葉域的形式:
其伸縮和平移形式為:
對其進行逆傅里葉變換,可以得到香農母小波函數的伸縮和平移形式:
進一步了解香農小波的構建可以參考[1]。
尺度函數和母小波的性質[編輯]
- 尺度
的尺度函數的平移是正交的:
- 尺度
的尺度函數和母小波時正交的:
實香農小波
利用香農小波重建函數[編輯]
假設信號
滿足
並對任意伸縮和平移參數
都有:
,
則
是一致收斂的,其中
實香農小波[編輯]
在傅里葉變換中,香農母小波由下式給出:
![{\displaystyle \Psi ^{(\operatorname {Sha} )}(w)=\prod \left({\frac {w-3\pi /2}{\pi }}\right)+\prod \left({\frac {w+3\pi /2}{\pi }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d62fbd36bf40398f55b09503b5ce57c71b93fab)
其中(歸一化)門函數由下式定義:
![{\displaystyle \prod (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if}}{\mbox{ otherwise}}.\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55a06d7d26a7bd2f60a20e4c550279da6dc0810)
實香農小波的解析表達式可由逆傅里葉變換得到:
![{\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {3\pi t}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc937de01554a13fef11f4a4c5071696c67de81)
也可按:
![{\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=2\cdot \operatorname {sinc} (2t-1)-\operatorname {sinc} (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556034b7c6b706a1ca5213962afb32dbbdab2d02)
其中
![{\displaystyle \operatorname {sinc} (t):={\frac {\sin {\pi t}}{\pi t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff1f5ecf4a3dfae9934ba3d50ee6c99b3f6efb1)
是出現在香農採樣定理中的常見正弦函數。
該小波有
級的可微性,但是在無窮遠處緩慢減小並且沒有有界支撐,因為有頻帶限制的信號沒有時間限制。
對於香農MRA(或是正弦MRA)的縮放函數由下面示例函數給出:
![{\displaystyle \phi ^{(Sha)}(t)={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e44e2a5e018b45327035f8265d79f352f7f882)
復香農小波[編輯]
復連續香農小波由下式定義:
,
參考資料[編輯]
- S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X
- C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9.
- L.W. LIU, Construction of Interval Shannon Wavelet and Its Application in Solving Nonlinear Black-Scholes Equation, 2014, 9 pages.