倒向隨機微分方程

倒向隨機微分方程（BSDE）是帶有終點條件的隨機微分方程，其解要根據底層濾波進行調整。BSDE自然地出現在各種應用中，如隨機控制、金融數學與非線性費曼-卡茨公式。

背景

1973年讓-米歇爾·比斯姆提出了BSDE線性情形，1990年法國學者Etienne Pardoux和中國學者彭實戈合作發表的論文中提出BSDE非線性情形，線性是廣泛的非線性中的一特殊形式。

數學框架

固定終點時刻$T>0$與概率空間$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$。令$(B_{t})_{t\in [0,T]}$為布朗運動，其自然濾波$({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}$。BSDE是積分方程，其類型為

$Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}f(s,Y_{s},Z_{s})\mathrm {d} s-\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T],$

(1)

其中$f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$稱作BSDE的生成器，終點條件$\xi$是${\mathcal {F}}_{T}$-可測隨機變量，解$(Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}$包含隨機過程$(Y_{t})_{t\in [0,T]}$、$(Z_{t})_{t\in [0,T]}$，其適應於過濾$({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}$。

例子

在$f\equiv 0$情形下，BSDE (1)簡化為

$Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T].$

(2)

若$\xi \in L^{2}(\Omega ,\mathbb {P} )$，則根據鞅表示定理，存在唯一的隨機過程$(Z_{t})_{t\in [0,T]}$使$Y_{t}=\mathbb {E} [\xi |{\mathcal {F}}_{t}]$、$Z_{t}$滿足BSDE (2)。

另見

• 鞅表示定理
• 隨機控制
• 隨機微分方程

閱讀更多

• Pardoux, Etienne; Rӑşcanu, Aurel. Stochastic Differential Equations, Backward SDEs, Partial Differential Equations. Stochastic modeling and applied probability. Springer International Publishing Switzerland. 2014. 
• Zhang, Jianfeng. Backward stochastic differential equations. Probability theory and stochastic modeling. Springer New York, NY. 2017.