對角線引理

對角線引理（diagonal lemma），又稱為不動點定理（fixed point theorem）。在數理邏輯中，對角線引理表明了自然數的形式理論中自指句子的存在——尤其是那些強到足以表示所有可計算函數的形式理論。

由對角線引理確立其存在的句子，將可用於證明一些邏輯的基礎限制，例如：哥德爾不完備定理或塔斯基不可定義定理。

背景

記自然數系為$\mathbb {N}$。$T$是一套帶有皮亞諾公理的一階邏輯理論。一個可計算函數$f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$可以在$T$表達，若於$T$中有合式公式${\mathcal {A}}_{f}(x,y)$使得：

$\vdash _{T}\,(\forall y)[(^{\circ }f(n)=y)\Leftrightarrow {\mathcal {A}}_{f}(^{\circ }n,\,y)]$

此處的 $^{\circ }n$ 是指對應於自然數 $n$ 的數碼，也就是皮亞諾公理裏預先假定的第一數碼 $0_{T}$ 的第$n$個後繼

${\begin{cases}^{\circ }1:=S(0_{T})\\^{\circ }(n+1):=S(^{\circ }n)\\\end{cases}}$

換句話說數碼是自然數的一種推廣，會依據第一數碼（常數符號）和後繼（函數符號）的語意解釋不同而有不同的實質意義。

對角線引理需要將$T$內的每條合式公式${\mathcal {A}}$ ，以有限運算步驟可以實現的方法，一對一的對應到一個自然數$\#({\mathcal {A}})$（簡寫為 $\#_{\mathcal {A}}$），這樣的$\#_{\mathcal {A}}$就被稱為${\mathcal {A}}$的哥德爾數（注意哥德爾數的指定方法不唯一）。如此一來，${\mathcal {A}}$也可以用數碼$^{\circ }\#_{\mathcal {A}}$來表示。

引理的內容

若$T$ 為一套帶有皮亞諾公理的一階邏輯理論，且所有可計算函數於$T$能夠表達；而 $T$ 內的合式公式 ${\mathcal {F}}(y)$ 中的變數 $y$ 是完全自由的。則有一條合式公式${\mathcal {C}}$使得

$\vdash _{T}\,{\mathcal {C}}\Leftrightarrow {\mathcal {F}}({}^{\circ }\#_{\mathcal {C}})$

證明

以下使用元語言敘述證明過程。讀者可以自己轉成以一階邏輯語言表達的正式證明。

對於 $T$ 中有一完全自由變數 $x$ 的合式公式 ${\mathcal {A}}(x)$，我們定義函數$f:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ 為：

$f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})=\#[{\mathcal {A}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})]$

其他狀況下取 $f(n)=0$ 。顯然函數 $f$ 是可計算的，故根據假設，存在合式公式 ${\mathcal {A}}_{f}(x,\,y)$使得

$\vdash _{T}\,(\forall y)\{{\mathcal {A}}_{f}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)},\,y)\Leftrightarrow [y=^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\}$ $(1)$

然後對具有自由變數 $y$ 的合式公式 ${\mathcal {F}}(y)$，定義 ${\mathcal {B}}(x)$ 為：

${\mathcal {B}}(x):=(\forall y)[{\mathcal {A}}_{f}(x,\,y)\Rightarrow {\mathcal {F}}(y)]$

注意到一階邏輯的公理模式（參見量詞公理）

$(\forall y){\mathcal {D}}(y)\Rightarrow {\mathcal {D}}(S)$ $(A4)$

${\mathcal {D}}(S)$ 是簡記 ${\mathcal {D}}(y)$ 內所有自由的 $y$ 被取代成項 $S$ 所得到的新合式公式（而並非代表 ${\mathcal {D}}(y)$ 只有一個組成變數）；而(A4)要成立，必須額外要求：若$s_{i}$ 是組成 $S$ 的其中一個變數，則 ${\mathcal {D}}(y)$ 內自由的 $y$ 都不被 $s_{i}$ 的量詞約束。（簡稱為項 $S$ 對變數 $y$ 於合式公式 ${\mathcal {D}}(y)$ 是自由的）

(A4)配合(1)使用MP律有

$\vdash _{T}\,[{\mathcal {A}}_{f}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)},\,y)]\Leftrightarrow [y=^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]$

所以從 ${\mathcal {B}}(x)$ 的定義有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})\Leftrightarrow (\forall y)\{[y=^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow {\mathcal {F}}(y)\}$ $(2)$

注意到從演繹定理會有

${\mathcal {D}}_{1}\Rightarrow ({\mathcal {D}}_{2}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{3}),\,{\mathcal {D}}_{2}\vdash _{T}\,{\mathcal {D}}_{1}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{3}$ $(D)$

${\mathcal {D}}_{1}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{2},\,{\mathcal {D}}_{2}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{3}\vdash _{T}\,{\mathcal {D}}_{1}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{3}$ $(D^{\prime })$

對定理(2)雙箭頭的後半部與公理模式(A4)使用MP律，然後套用(D')會有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})\Rightarrow \{[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})=^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow {\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\}$ $(3)$

而從等號的性質（奠基於皮亞諾公理），對所有的項 $S$ 有

$\vdash _{T}S=S$

故(3)配合(D)會有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})\Rightarrow {\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]$ $(R-right)$

然後對等式和它的公理（同樣奠基於皮亞諾公理）施用兩次普遍化，然後與(A4)施用MP律兩次會有：

若項$S$ 和 $U$ 都對變數 $y$ 於${\mathcal {F}}(y)$自由，則

$\vdash _{T}\,(S=U)\Rightarrow [{\mathcal {F}}(S)\Rightarrow {\mathcal {F}}(U)]$ $(E)$

所以從(D)和演繹定理有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow \{[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})=y]\Rightarrow {\mathcal {F}}(y)\}$ $(4)$

然後注意到另條量詞的公理模式（若 $y$ 於合式公式 ${\mathcal {D}}$ 中完全不自由或不曾出現）

$(\forall y)({\mathcal {D}}\Rightarrow {\mathcal {E}})\Rightarrow [{\mathcal {D}}\Rightarrow (\forall y){\mathcal {E}}]$ $(A5)$

然後以普遍化於定理(4)外面補上 $\forall y$，接着與(A5)一起套用MP律會有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow (\forall y)\{[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})=y]\Rightarrow {\mathcal {F}}(y)\}$

所以上面的定理和定理(2)配合(D')有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow {\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})$ $(R-left)$

總結(R-right)和(R-left)，然後帶入函數 $f$ 的值有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})\Leftrightarrow {\mathcal {F}}\{^{\circ }\#[{\mathcal {A}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\}$ $(5)$

注意 ${\mathcal {B}}(x)$ 內變數 $x$ 是完全自由的，故可以把前面推導中所有的 ${\mathcal {A}}$ 換成 ${\mathcal {B}}$ ，然後定義

${\mathcal {C}}:={\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {B}}(x)})$

那我們可以從定理(5)得到

$\vdash _{T}\,{\mathcal {C}}\Leftrightarrow {\mathcal {F}}(^{\circ }\#_{\mathcal {C}})$

至此引理完成證明。$\Box$

歷史

對角線引理跟可計算性理論中的Kleene's recursion theorem有密切的聯繫，證明方法也相似。

這個定理之所以被冠以「對角線」，是因為它與康托爾的對角論證法的形式很相近。「對角線引理」或「不動點」的詞彙並未出現在哥德爾1931年所發表的劃時代的論文中，也沒有出現在塔斯基1936年的論文中。卡爾納普是第一個人證明出：只要理論T滿足某些條件，那麼對於T中的任何式子ψ，都存在式子φ使得φ ↔ ψ(#(φ))在T中是可證的。由於在1934年尚未有可計算函數的概念，卡爾納普是以別的用詞去陳述該結論。Elliott Mendelson 認為是卡爾納普首先指出哥德爾的論證中隱含地運用了對角線引理，而哥德爾則是在1937年注意到卡爾納普的工作。