時域熱反射法

時域熱反射法（英語：time-domain thermoreflectance，簡稱TDTR）是一種測量材料熱導率等熱性能的方法。該方法尤其適用於薄膜材料（厚度可達數百納米），其特性與相同塊體材料相比差異很大。這一技術的基本原理是，通過加熱材料後其表面反射率的變化來推導材料的熱性能。測量反射率隨時間的變化後，將測得的數據與包含熱性能相關係數的模型進行匹配，從而確定材料的熱性能。

實驗設置

時域熱反射法的原理基於對脈衝激光產生的聲波脈衝的測量。材料的局部加熱會導致局部溫度升高，從而產生熱應力。這種在局部區域內積累的的應力會引起聲應變脈衝。在界面處，脈衝將處於透射或反射狀態，可以通過反射波來監測界面的特性。探測激光將通過感應壓光效應來檢測反射聲波。

考慮由激光引起的局部溫度升高，應變量與激光脈衝之間有如下關係：

$\Delta T(z)=(1-R){\frac {Q}{C(\zeta A)}}\exp(-z/\zeta ),$

其中R是樣品反射率，Q是光脈衝能量，C是比熱（每單位體積）， A是光斑面積，ζ 是光吸收長度， z是進入樣品的距離。溫度升高導致的應變可以通過與薄膜的線性熱膨脹係數相乘來估算。通常聲脈衝的幅值很小，而長距離傳播時非線性效應可能變得重要。如果溫度不是很低，這種短時脈衝的傳播會受到聲衰減的影響。因此，這一技術在測量表面聲波時最為有效，目前對該技術在橫向結構中的應用正處於研究之中。

由於聲波和熱流的傳播時間很短，因此需要快速監測反射波的壓光效應。聲波在一皮秒時間內能傳播幾納米，而熱流在一秒內能傳播約一百納米。常用的激光器如脈衝寬度約為200飛秒的鈦藍寶石激光器，以及摻鐿光纖、摻鐿鎢酸鹽、摻鉺光纖、釹玻璃等類型的激光器。可以利用二次諧波來實現兩倍或更高的頻率。

激光的輸出通過半波片與偏振分束器分成交叉偏振的泵浦光束與探測光束。泵浦光束通過聲光或電光調製器調製到幾兆赫的頻率，並通過透鏡聚焦到樣品上。探測光束被引導至光學延遲線，並通過透鏡聚焦到樣品上的同一位置。泵浦光和探測光的光斑尺寸約為10–50微米。反射的探測光輸入到高帶寬光電探測器中，其輸出信號進入鎖相放大器，參考信號與泵浦光調製的頻率相同。鎖相放大器輸出的電壓將與反射率變化（ΔR）成正比。通過記錄光延遲線發生變化時的信號，可以獲得ΔR與光探測脈衝時間延遲之間的關係。

材料建模

單層材料表面溫度

對於一個角頻率為$\omega$的點熱源，該熱源加熱的半無限固體的頻域解為

$g(r)={\frac {\exp(-qr)}{(2\pi \Lambda r)}},$

其中$q^{2}=(iw/d)$，Λ為固體熱導率，D為固體熱擴散率，r為徑向坐標。

通常在時域熱反射實驗中，共線激光束具有圓柱對稱性，因此可以利用漢克爾變換來簡化上式與激光強度分佈的卷積計算。

對於徑向對稱的$g(r)$，其漢克爾變換為

$G(k)=2\pi \int _{0}^{\infty }g(r)J_{0}(2\pi kr)r\,dr={\frac {1}{\Lambda (4\pi ^{2}k^{2}+q^{2})^{1/2}}}.$

泵浦和探測光束具有高斯分佈，其 $1/e^{2}$半徑分別為$w_{0}$和$w_{1}$。樣品表面被強度為$p(r)$的泵浦光束加熱：

$p(r)={\frac {2A}{\pi w_{0}^{2}}}\exp(-2r^{2}/w_{0}^{2}),$

其中$A$是樣品在頻率$\omega$下吸收的熱量幅值。對$p(r)$作漢克爾變換，

$P(k)=A\exp(-\pi ^{2}k^{2}\omega _{0}^{2}/2).$

表面溫度的振盪分佈$\theta (r)$是$G(k)$和$P(k)$乘積的逆漢克爾變換：

$\theta (r)=2\pi \int _{0}^{\infty }P(k)G(k)J_{0}(2\pi kr)kdk.$

可以通過測量表面反射率$R$隨着溫度$T$的變化（$dR/dT$）檢測表面溫度的變化。探測激光束測量的是溫度$\theta (r)$的加權平均值：

$\Delta T={\frac {4}{w_{1}^{2}}}\int _{0}^{\infty }\theta (r)\exp \left(-{\frac {2r^{2}}{w_{1}^{2}}}\right).$

進一步將該積分化簡為對$k$的積分：

$\Delta T=2\pi A\int _{0}^{\infty }G(k)\exp(-\pi ^{2}k^{2}(\omega _{0}^{2}+\omega _{1}^{2})/2)kdk.$

多層材料表面溫度

多層材料表面溫度的頻域解可以按與單層材料類似的方式得到，只需要將其中的$G(k)$改為

$G(k)=({\frac {B_{1}^{+}+B_{1}^{-}}{B_{1}^{-}-B_{1}^{+}}}){\frac {1}{\gamma _{1}}},$

其中

$\left({\begin{array}{c}B^{+}\\B^{-}\end{array}}\right)_{n}={\frac {1}{2\gamma _{n}}}\left({\begin{array}{cc}\exp(-u_{n}L_{n})&0\\0&\exp(u_{n}L_{n})\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}\gamma _{n}+\gamma _{n+1}&\gamma _{n}-\gamma _{n+1}\\\gamma _{n}-\gamma _{n+1}&\gamma _{n}+\gamma _{n+1}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}B^{+}\\B^{-}\end{array}}\right)_{n+1}$, $u_{n}=(4\pi ^{2}k^{2}+q_{n}^{2})^{1/2},q_{n}^{2}={\frac {iw}{D_{n}}},\gamma _{n}=\Lambda _{n}u_{n}.$

Λ_n是第n層的熱導率，D_n是第n層的熱擴散率，L_n是第n層的厚度。由此可以得到多層材料溫度的變化（$\Delta T$）。

時域熱反射數據的建模

時域熱反射實驗獲得的數據需要與模型進行匹配。

$Re[\Delta RM(t)]={\frac {dR}{dT}}\sum _{m=-M}^{M}(\Delta T(m/\tau +f)+\Delta T(m/\tau -f))\exp(i2\pi mt/\tau ),$

$Im[\Delta RM(t)]=-i{\frac {dR}{dT}}\sum _{m=-M}^{M}(\Delta T(m/\tau +f)-\Delta T(m/\tau -f))\exp(i2\pi mt/\tau ),$

${\frac {V_{f}(t)}{V_{0}}}={\frac {Q}{\sqrt {2}}}{\frac {\Delta R(t)}{R}},$

其中Q是諧振電路的品質因數。計算出的$V_{f}/V_{0}$將與測量值的進行比較。