菲魯茲巴赫特猜想

質數間隙函數

在數論中，菲魯茲巴赫特猜想（Firoozbakht's conjecture 或 Firoozbakht conjecture）是數學上關於質數分佈的一個猜想。該猜想以伊朗女數學家法麗德·菲魯茲巴赫特的名字命名，她於1982年提出此猜想。

該猜想聲稱，$p_{n}^{1/n}$是一個嚴格遞減函數（其中$p_{n}$是第$n$個質數），也就是說

${\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}\qquad {\text{ for all }}n\geq 1.$

或等價地

$p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}\qquad {\text{ for all }}n\geq 1,$

相關內容可見A182134及A246782。

藉由使用最大質數間隙（maximal gap）表，法麗德·菲魯茲巴赫特確認她的猜想對大到$4.444\times 10^{12}$的數都成立。利用廣度更大的最大質數間隙表，目前已知該猜想對任何小於$2^{64}\sim 1.84\times 10^{19}$的質數都成立。

若此猜想成立，那麼質數間隙函數$g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$會滿足下列關係：

$g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}\qquad {\text{ for all }}n>4.$

此外，

$g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1\qquad {\text{ for all }}n>9,$

對此可見A111943。

該猜想是對質數間隙上界最強的猜想之一，甚至比克拉梅爾猜想和尚克斯猜想（Shanks' Conjecture）還強。從該猜想可推出強克拉梅爾猜想，而這與安德魯·格蘭維爾、平茨·亞諾什和赫爾穆特·邁爾等人的直觀猜測不一致。而這些人的直觀猜測認為，對任意的$\varepsilon >0$下式對無限多的數成立：

$g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}\approx 1.1229(\log p_{n})^{2},$

其中$\gamma$是歐拉-馬斯刻若尼常數。

兩個相關的猜想（可見A182514的討論）如下：

比菲魯茲巴赫特猜想來得弱的猜想：

$\left({\frac {\log(p_{n+1})}{\log(p_{n})}}\right)^{n}<e,$

比菲魯茲巴赫特猜想來得強的猜想：

$\left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log(n)\qquad {\text{ for all }}n>5,$

參見

• 質數定理
• 安德里卡猜想
• 勒讓德猜想
• 奧珀曼猜想
• 克拉梅爾猜想

參考資料

• Ribenboim, Paulo. The Little Book of Bigger Primes Second Edition. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20169-6. 
• Riesel, Hans. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Second Edition. Birkhauser. 1985. ISBN 3-7643-3291-3.