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高斯-博內定理

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適用高斯-博內定理的複雜區域的一個例子。標示了測地曲率。

微分幾何中,高斯-博內定理(亦稱高斯-博內公式)是關於曲面的圖形(由曲率表徵)和拓撲(由歐拉示性數表徵)間聯繫的一項重要表述。它是以卡爾·弗里德里希·高斯皮埃爾·奧西安·博內命名的,前者發現了定理的一個版本但從未發表,後者1848年發表了該定理的一個特例。

定理內容

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是一個緊的二維黎曼流形是其邊界。令高斯曲率測地曲率。則有

其中dA是該曲面的面積元,dsM邊界的線元。此處歐拉示性數

如果的邊界是分段光滑的,我們將視作光滑部分相應的積分之和,加上光滑部分在曲線邊界上的轉過的角度之和。

參看

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外部連結

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