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請問斜邊長固定為x的直角三角形，其兩股長之和的最大值為何？當出現最大值時，它是什麼樣的直角三角形？

設未知數吧

設一股長a，另一個就是b=\sqrt(x^2-a^2)

f(a)=a+\sqrt(x^2-a^2)

f'(a)=1-a/\sqrt(x^2-a^2)

顯然a=x/\sqrt(2)时，f(a)有極大值。

算出來就是

a=b=x/\sqrt(2)

請問"/\"是什麼意思？幂？

/是分數線，\sqrt在LaTeX裡表示根號。

例如f'(a)=1-a/\sqrt(x^2-a^2)代表$f'(a)={\frac {1-a}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$。

原來是我誤會了，把兩個不相干的元件湊在一起。

不過f'(a)=1-a/\sqrt(x^2-a^2)是代表$f'(a)=1-{\frac {a}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$吧？

事實上$f(a)=a+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$微分一次也的確是這個函數。

看來是$f'(a)=1-{\frac {a}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$沒錯。

這次換我搞錯了。

嗯！那麼我用柯西不等式好像也可以？

設兩股長為a與b，則$a^{2}+b^{2}=x^{2}$為固定值，

$(a^{2}+b^{2})(1^{2}+1^{2})\geq (a\times 1+b\times 1)^{2}$

$2x^{2}\geq (a+b)^{2}$

${\sqrt {2}}x\geq a+b$

等號成立於${\frac {a}{1}}={\frac {b}{1}}$，即a=b時，為等腰直角三角形。

我嘗試用算幾不等式來算：

設兩股長為$a$與$b$，則$a^{2}+b^{2}=x^{2}$為固定值，

不過要多一個轉換的步驟：$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=x^{2}+2ab$

${\begin{aligned}{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\geq {\sqrt {a^{2}b^{2}}}&\Rightarrow x^{2}\geq 2ab\\&\Rightarrow x^{2}\geq (a+b)^{2}-x^{2}\\&\Rightarrow 2x^{2}\geq (a+b)^{2}\\&\Rightarrow {\sqrt {2}}x\geq a+b\end{aligned}}$

等號成立於$a^{2}=b^{2}$，即$a=b$時，為等腰直角三角形。

楼上应该是中学生

建立直角边长之和与一条直角边长的关系式，对一条直角边长求导，根据费马准则推出答案。