哈瑟原則

在數學裏，赫爾姆特·哈瑟的局部-全域原則，或稱為哈瑟原則，是一個表示「一個方程可以在有理數上被解若且唯若它可以在實數上『及』在每個質數p之p進數上被解」的原則。

表示0的型

二次型

哈瑟-閔可夫斯基定理描述著局部-全域原則會由在有理數上之二次型來表示0的問題中成立(由閔可夫斯基證出)；且更一般性地，會在任何一個數域上成立(由哈瑟證出)，其中使用了所有合適的局部域的必要條件。循環擴張上的哈瑟定理描述著局部-全域原則可以應用在數域循環擴張之一個相對賦範的條件下。

三次型

恩斯特·賽爾瑪提出的反例表示哈瑟-閔可夫斯基定理不可以擴伸至三次型，如三次型 $3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}$ 可以在p進數上表示0，但不能在Q上表示。^[1]

羅傑·希思布朗^[2]證明每個在整數上至少有14個變數的三次型可以表示0，改進了由哈羅德·達芬波特所證明出的早期成果^[3]。因此局部-全域原則當然地會在有理數上至少有14個變數的三次型上成立。

若將其限定在無奇點的類型上，即可以得到更好的結果：希思布朗證明每個在有理數上至少有10個變數之無奇點的三次型都可表示0^[4]，因此可以當然地建立起在此一類型上的哈瑟原則。可知在最有可能的義意下，可知會存在一個不會表示零的9個變數之於有理數上的無奇點三次型。^[5]無論如何，荷利證明出了哈瑟原則會在由在有理數上至少9個變數之無奇點三次型來表示0的條件下成立。^[6]達芬波特、希思布朗和荷利在他們的證明中都是使用哈代-勒特伍德圓法。根據馬寧的想法，哈瑟原則在三次型中成立的障礙是被挷在布勞爾群的理論之中；而現在只表現出此一設定還不是個完整的故事(Alexei Skorobogatov, 1999)。

更高次型

藤原正彥和Masaki Sudo提出的反例表示哈瑟-閔可夫斯基定理不可以延伸至 $10n+5$ 次型，其中的 $n$ 是一個非負整數。^[7]

在另一方面，柏區定理證明出若d是一個奇數，則存在一個 N(d)，使任何有多於 N(d) 個變數的 d 次型皆能表示 0：哈瑟原則在此當然地成立。

另見

參考文獻

^ Ernst S. Selmer, The Diophantine equation ax³+by³+cz³=0, Acta Mathematica, 85, pages 203-362, (1957)
^ 存档副本 (PDF). [2007-01-01]. （原始內容存檔 (PDF)於2007-02-21）.
^ H. Davenport, Cubic forms in sixteen variables, Proceedings of the Royal Society London Series A, 272, pages 285-303, (1963)
^ D. R. Heath-Brown, Cubic forms in ten variables, Proceedings of the London Mathematical Society, 47(3), pages 225-257, (1983)
^ L. J. Mordell, A remark on indeterminate equations in several variables, Journal of the London Mathematical Society, 12, pages 127-129, (1937)
^ C. Hooley, On nonary cubic forms, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 386, pages 32-98, (1988)
^ M. Fujiwara, M. Sudo, Some forms of odd degree for which the Hasse principle fails, Pacific Journal of Mathematics, 67 (1976), No. 1, pages 161-169

外部連結

PlanetMath article（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Swinnerton-Dyer, Diophantine Equations: Progress and Problems, online notes

[1] Ernst S. Selmer, The Diophantine equation ax³+by³+cz³=0, Acta Mathematica, 85, pages 203-362, (1957)

[2] 存档副本 (PDF). [2007-01-01]. （原始內容存檔 (PDF)於2007-02-21）.

[3] H. Davenport, Cubic forms in sixteen variables, Proceedings of the Royal Society London Series A, 272, pages 285-303, (1963)

[4] D. R. Heath-Brown, Cubic forms in ten variables, Proceedings of the London Mathematical Society, 47(3), pages 225-257, (1983)

[5] L. J. Mordell, A remark on indeterminate equations in several variables, Journal of the London Mathematical Society, 12, pages 127-129, (1937)

[6] C. Hooley, On nonary cubic forms, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 386, pages 32-98, (1988)

[7] M. Fujiwara, M. Sudo, Some forms of odd degree for which the Hasse principle fails, Pacific Journal of Mathematics, 67 (1976), No. 1, pages 161-169

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