钱珀瑙恩数
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钱珀瑙恩数(Champernowne constant)C10是一个实数的超越数,其十进制表示法有重要的特性,得名自数学家D. G.钱珀瑙恩,在1933年以本科生(剑桥大学)的身份发表有关钱珀瑙恩数的论文。
在十进制下,可以用连续整数来定义钱珀瑙恩数:
也可以定义其他进制系统下的钱珀瑙恩数:
钱珀瑙恩字(Champernowne word)或是巴比尔字(Barbier word)是指由Ck各位数形成的数列[1][2]。
十进制下的钱珀瑙恩数C10为正规数,是每个数字出现机会均等的实数。
性质
[编辑]实数x若在某一进制b下,其数字都是均匀分布,此实数在底数b下为正规数]。均匀分布的意思是所有数字出现比率相近,所有二位数字组合出现比率相近,所有三位数字组合出现比率相近等。若实数在所有进制都是正规数,则称为绝对正规数。
若将一数字的各位数组成一字串,为[a0, a1, ...],而此数字在10进制下正规数,因此可以预期,此字串中,字串[0], [1], [2], …, [9]出现的几率都是1/10,而字串[0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9]出现的几率都是1/100。
钱珀瑙恩证明了在十进制下为正规数[3],Nakai和Shiokawa证明了更通用的定理:也就是在b进制下都会正规数[4]。有关在的条件下,在b进制是否是正规数,这问题是还没有答案的开放问题。例如,目前还不知道在9进制下是否是正规数。例如的前54位数是0.123456789101112131415161718192021222324252627282930313,在9进制下表示为。
Kurt Mahler证明钱珀瑙恩数是超越数[5]。的无理性度量(表示用有理数近似此数字的困难程度)为,而针对的进制,[6]。
相关条目
[编辑]参考资料
[编辑]- ^ Cassaigne & Nicolas (2010) p.165
- ^ *Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey. Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. 2003: 299. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015.
- ^ Champernowne 1933
- ^ Nakai & Shiokawa 1992
- ^ K. Mahler, Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen, Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. 40 (1937), p. 421–428.
- ^ Masaaki Amou, Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers (页面存档备份,存于互联网档案馆), Journal of Number Theory, Volume 37, Issue 2, February 1991, Pages 231–241
文献
[编辑]- Cassaigne, J.; Nicolas, F. Factor complexity. Berthé, Valérie; Rigo, Michel (编). Combinatorics, automata, and number theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 135. Cambridge: Cambridge University Press. 2010: 163–247. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1216.68204.
- Champernowne, D. G., The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, 1933, 8 (4): 254–260, doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254.
- Nakai, Y.; Shiokawa, I., Discrepancy estimates for a class of normal numbers, Acta Arithmetica, 1992, 62 (3): 271–284, doi:10.4064/aa-62-3-271-284