LQG控制

LQG控制（linear–quadratic–Gaussian control）的全名是线性二次高斯控制，是控制理论中的基础最优控制问题之一。此问题和存在加性高斯白噪声的线性系统有关。此问题是要找到最佳的输出回授律，可以让二次费用函数的期望值最小化。其输出量测假设受到高斯噪声的影响，其初值也是高斯随机向量。

在“使用线性控制律”的最佳控制假设下，可以用completion-of-squares论述进行推导。此控制律即为LQG控制器，就是卡尔曼滤波（线性二次状态估测器，LQE）和LQR控制器的结合。分离原理指出状态估测器和状态回授可以独立设计。LQG控制可以应用在线性时不变系统及线性时变系统，产生容易计算以及实现的线性动态回授控制器。LQG控制器本身是一个类似其受控系统的动态系统，两者有相同的维度。

根据分离原理，在一些范围较宽可能是非线性的控制器中，LQG控制器仍然是最佳的。也就是说“使用非线性控制架构不一定可以改善费用泛函的期望值”。这个版本的分离原理是随机控制的分离原理（separation principle of stochastic control）提到就算过程及输出噪声源可能是非高斯鞅，只要其系统动态是线性的，其最佳控制仍可以分离为最佳状态估测器（不再是卡尔曼滤波器）及LQR控制器。LQR控制器也有用来控制扰动的非线性系统。

问题和解的数学描述

连续时间

考虑连续时间的线性动态系统

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t),$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {w} (t),$

其中${\mathbf {x} }$是系统状态变量的向量，${\mathbf {u} }$是控制输入向量，${\mathbf {y} }$是输出量测值的向量，可用在回授上。系统受到加成性的高斯系统噪声$\mathbf {v} (t)$及加成性的高斯量测噪声$\mathbf {w} (t)$所影响。给定一系统，其目标是找到一控制输入${\mathbf {u} }(t)$，此控制输入在每个时间${\mathbf {} }t$下，和以往的量测量${\mathbf {y} }(t'),0\leq t'<t$有线性关系，而且此控制输入可以让以下的费用函数有最小值：

$J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(T)F{\mathbf {x} }(T)+\int _{0}^{T}{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(t)Q(t){\mathbf {x} }(t)+{\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}(t)R(t){\mathbf {u} }(t)\,dt\right],$

$F\geq 0,\quad Q(t)\geq 0,\quad R(t)>0,$

其中$\mathbb {E}$为期望值。最终时间（horizon）${\mathbf {} }T$可能是有限值或是无限值。若最终时间为无限，则费用函数的第一项${\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(T)F{\mathbf {x} }(T)$可以忽略，和问题无关。而为了要让费用函数为有限值，会定义费用函数为${\mathbf {} }J/T$。

求解上述LQG问题的LQG控制器可以用以下方程表示：

${\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=A(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+B(t){\mathbf {u} }(t)+L(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right),\quad {\hat {\mathbf {x} }}(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0)\right],$

${\mathbf {u} }(t)=-K(t){\hat {\mathbf {x} }}(t).$

矩阵${\mathbf {} }L(t)$称为卡尔曼增益（Kalman gain），和第一个方程卡尔曼滤波有关。在时间${\mathbf {} }t$，滤波器会根据过去量测及输入来产生状态${\mathbf {x} }(t)$的估测值${\hat {\mathbf {x} }}(t)$。卡尔曼增益${\mathbf {} }L(t)$是根据${\mathbf {} }A(t),C(t)$、二个和白色高斯噪声有关密度矩阵$\mathbf {v} (t)$、$\mathbf {w} (t)$及最后的$\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right]$来计算。这五个矩阵会透过以下的矩阵Riccati微分方程来决定卡尔曼增益：

${\dot {P}}(t)=A(t)P(t)+P(t)A^{\mathrm {T} }(t)-P(t)C^{\mathrm {T} }(t){\mathbf {} }W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t),$

$P(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right].$

假设其解$P(t),0\leq t\leq T$，则卡尔曼增益等于

${\mathbf {} }L(t)=P(t)C^{\mathrm {T} }(t)W^{-1}(t).$

矩阵${\mathbf {} }K(t)$称为回授增益（feedback gain）矩阵，是由${\mathbf {} }A(t),B(t),Q(t),R(t)$及${\mathbf {} }F$矩阵，透过以下的矩阵Riccati微分方程来决定

$-{\dot {S}}(t)=A^{\mathrm {T} }(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t)+Q(t),$

${\mathbf {} }S(T)=F.$

假设其解${\mathbf {} }S(t),0\leq t\leq T$，回授增益等于

${\mathbf {} }K(t)=R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t).$

观察上述二个矩阵Riccati微分方程，第一个沿时间从前往后算，而第二个是沿时间从后往前算，这称为“对偶性”。第一个矩阵Riccati微分方程解了线性平方估测问题（LQE），第二个矩阵Riccati微分方程解了LQR控制器问题。这二个问题是对偶的，合起来就解了线性平方高斯控制问题（LQG)，因此LQG问题分成了LQE问题以及LQR问题，且可以独立求解，因此LQG问题是“可分离的”。

当${\mathbf {} }A(t),B(t),C(t),Q(t),R(t)$和噪声密度矩阵$\mathbf {} V(t)$, $\mathbf {} W(t)$不随时间变化${\mathbf {} }t$，且${\mathbf {} }T$趋于无限大时，LQG控制器会变成非时变动态系统。此时上述二个矩阵Riccati微分方程会变成代数Riccati方程。

离散时间

离散时间的LQG控制问题和连续时间下的问题相近，因此以下只关注其数学式。

离散时间的线性系统方程为

${\mathbf {x} }_{i+1}=A_{i}\mathbf {x} _{i}+B_{i}\mathbf {u} _{i}+\mathbf {v} _{i},$

$\mathbf {y} _{i}=C_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {w} _{i}.$

其中$\mathbf {} i$是离散时间，$\mathbf {v} _{i},\mathbf {w} _{i}$是离散时间高斯白噪声过程，其共变异数矩阵为$\mathbf {} V_{i},W_{i}$。

要最小化的二次费用函数为

$J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }_{N}^{\mathrm {T} }F{\mathbf {x} }_{N}+\sum _{i=0}^{N-1}(\mathbf {x} _{i}^{\mathrm {T} }Q_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {u} _{i}^{\mathrm {T} }R_{i}\mathbf {u} _{i})\right],$

$F\geq 0,Q_{i}\geq 0,R_{i}>0.\,$

离散时间的LQG控制器为

${\hat {\mathbf {x} }}_{i+1}=A_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}+B_{i}{\mathbf {u} }_{i}+L_{i+1}\left({\mathbf {y} }_{i+1}-C_{i+1}\left\{A_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}+B_{i}u_{i}\right\}\right),{\hat {\mathbf {x} }}_{0}=\mathbb {E} [{\mathbf {x} }_{0}]$,

$\mathbf {u} _{i}=-K_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}.\,$

卡尔曼增益等于

${\mathbf {} }L_{i}=P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i})^{-1},$

其中${\mathbf {} }P_{i}$是由以下依时间往前进的矩阵Riccati差分方程所决定：

$P_{i+1}=A_{i}\left(P_{i}-P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }\left(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i}\right)^{-1}C_{i}P_{i}\right)A_{i}^{\mathrm {T} }+V_{i},P_{0}=\mathbb {E} \left({\mathbf {x} }_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}_{0}\right)\left({\mathbf {x} }_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}_{0}\right)^{\mathrm {T} }.$

回授增益矩阵为

${\mathbf {} }K_{i}=(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}A_{i}$

\ 其中${\mathbf {} }S_{i}$是由以下时间从后往前算的矩阵Riccati差分方程所决定：

$S_{i}=A_{i}^{\mathrm {T} }\left(S_{i+1}-S_{i+1}B_{i}\left(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}\right)A_{i}+Q_{i},\quad S_{N}=F.$

若问题中所有的矩阵都是非时变的，且时间长度${\mathbf {} }N$趋近无穷大，则离散时间的LQG控制器就是非时变的。此时矩阵Riccati差分方程可以用离散时间的代数Riccati方程取代。可以决定非时变的离散线性二次估测器，以及非时变的离散LQR控制器。为了让费用是有限值，会用${\mathbf {} }J/N$来代替${\mathbf {} }J$。

降阶LQG问题

在传统LQG设置中，当系统维度很大时，实现LQG控制器会有困难。降阶LQG问题（reduced-order LQG problem）也称为固定阶数LQG问题（fixed-order LQG problem）先设置了LQG控制的状态数。因为分离原理已不适用，此问题会更不容易求解，而且其解也不唯一。即使如此，降阶LQG问题已有不少的数值算法可以求解相关的最佳投影方程（optimal projection equations），其中建构了局部优化的降阶LQG问题的充份及必要条件。

LQG控制的鲁棒性

LQG优化本身不确保有良好的鲁棒性，需要在设计好LQG控制后，另外确认闭回路系统的鲁棒稳定性。为了提升系统的鲁棒性，可能会将一些系统参数由确定值改假设是随机值。相关的控制问题会更加复杂，会得到一个类似的最佳控制器，只有控制器参数不同。

相关条目

• 随机控制
• Witsenhausen反例

延伸阅读

• Stengel, Robert F. Optimal Control and Estimation. New York: Dover. 1994. ISBN 0-486-68200-5.