a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} 都是正整數,且 gcd ( a , b ) , gcd ( a , c ) , gcd ( a , d ) , gcd ( b , c ) , gcd ( b , d ) , gcd ( c , d ) , gcd ( b , c , d ) , gcd ( a , c , d ) , gcd ( a , b , d ) , gcd ( a , b , c ) {\displaystyle \gcd(a,b),\gcd(a,c),\gcd(a,d),\gcd(b,c),\gcd(b,d),\gcd(c,d),\gcd(b,c,d),\gcd(a,c,d),\gcd(a,b,d),\gcd(a,b,c)} 皆不為1,但 gcd ( a , b , c , d ) = 1 {\displaystyle \gcd(a,b,c,d)=1} ,則 ( a + b + c + d ) {\displaystyle (a+b+c+d)} 的最小值是247嗎?為什麼?
让 a = w × x × y , b = w × x × z , c = w × y × z , d = x × y × z {\displaystyle a=w\times x\times y,b=w\times x\times z,c=w\times y\times z,d=x\times y\times z} ,( w , x , y , z {\displaystyle w,x,y,z} 都是大于1的整数),则 g c d ( a , b ) = w × x , g c d ( a , c ) = w × y {\displaystyle gcd(a,b)=w\times x,gcd(a,c)=w\times y} …… g c d ( a , b , c ) = w , g c d ( a , b , d ) = x {\displaystyle gcd(a,b,c)=w,gcd(a,b,d)=x} …… w , x , y , z {\displaystyle w,x,y,z} 四个数中,不能有一个数是另外一个数的倍数(比如 w = n × x {\displaystyle w=n\times x} ),不然 g c d ( a , b , c , d ) {\displaystyle gcd(a,b,c,d)} 就不是1,而是 x {\displaystyle x} 了。 如果要让 a + b + c + d {\displaystyle a+b+c+d} 尽量小,那么 w , x , y , z {\displaystyle w,x,y,z} 也得尽量小, 让 w , x , y , z {\displaystyle w,x,y,z} 尽量小又满足上述条件的话,可以让 w = 2 , x = 3 , y = 5 , z = 7 {\displaystyle w=2,x=3,y=5,z=7} 。 于是, a = 30 , b = 42 , c = 70 , d = 105 , a + b + c + d = 247 {\displaystyle a=30,b=42,c=70,d=105,a+b+c+d=247} 。
设 w = g c d ( a , b , c ) , x = g c d ( a , b , d ) , y = g c d ( a , c , d ) , z = g c d ( b , c , d ) {\displaystyle w=gcd(a,b,c),x=gcd(a,b,d),y=gcd(a,c,d),z=gcd(b,c,d)} ,确实根据题目条件有 w , x , y , z {\displaystyle w,x,y,z} 两两互质 ⇒ w x y ∣ a , w x z ∣ b , w y z ∣ c , x y z ∣ d ⇒ a + b + c + d ≥ w x y + w x z + w y z + x y z {\displaystyle \Rightarrow wxy\mid a,wxz\mid b,wyz\mid c,xyz\mid d\Rightarrow a+b+c+d\geq wxy+wxz+wyz+xyz} 。