分裂引理
在数学中,更准确地是同调代数中,分裂引理(splitting lemma)说在任何阿贝尔范畴中,关于短正合序列的下列陈述是等价的。
给定一个具有映射q 与r 的短正合序列:
我们写出映射(可能不存在)的箭头t 与u:
下列陈述是等价的:
- 1.左分裂:存在一个映射t
- B → A 使得tq 是A 的恒等映射;
- 2.右分裂:存在一个映射u
- C → B 使得ru 是C 的恒等映射;
- 3.直和
- B 同构于A 与C 的直和,q 是A 的自然内射而r 是到C 的投影。
如果上述陈述成立,短正合序列成为分裂的。
这使我们可改进第一同构定理:
- 这一同构定理说在上述短正合序列中;
- 如果序列分裂则,而第一同构定理恰是到C 的投影。
证明
[编辑]首先证明 (3)蕴含 (1)与 (2)。我们假设 (3)成立,取t 为直和到A 的自然投影,取u 为C 到直和的自然内射。
为了证明 (1)蕴含 (3),首先注意到B 中任何元素属于集合 (ker t + im q)。这是因为对B 中任意b,b = (b - qt(b)) + qt(b);qt(b)显然属于im q,而 (b - qt(b))属于ker t,因为
- t(b - qt(b))= t(b)- tqt(b)= t(b)- (tq)t(b)= t(b)- t(b)= 0.
然后,im q 与ker t 的交集为{0},因若存在a 属于A 使得q(a)= b 以及t(b)= 0,则0 = tq(a)= a;从而b = 0。
这就证明了B 是im q 与ker t 的直和。故对所有b 属于B,b 可以惟一地等同于某个a 属于A,k 属于ker t,使得b = q(a)+ k。
由正合性,ker rq = A,故ker r = im q。子序列B → C → 0蕴涵着r 是映上的;从而对任意c 属于C 存在某个b = q(a)+ k 使得c = r(b)= r(q(a)+ k) = r(k)。故对任意c 属于C,存在k 属于ker t 使得c = r(k),以及r(ker t)= C。
如果r(k)= 0,则k 属于im q;因im q 与ker t 的交集 = {0},则k = 0。从而同态r : ker t → C 的限制是一个同构;且ker t 同构于C。
最后im q 同构于A,因为0 → A → B 的正合性;故B 同构于A 与C 的直和,这就证明了 (3)。
类似地可证明 (2)蕴含 (3)。B 中任何元素属于集合ker r + im u;因为对所有b 属于B,b = (b - ur(b)) + ur(b),这属于in ker r + im u。ker r 与im u 的交集是{0},因若r(b)= 0以及u(c)= b,则0 = ru(c)= c。
由正合性,im q = ker r,以及q 是一个内射,im q 同构于A,故A 同构于ker r。由于ru 是一个双射,u 是一个内射,故im u 同构于C。所以B 是A 与C 的直和。
非阿贝尔群
[编辑]这里所述的形式,分裂引理在全群范畴中不成立,它不是一个阿贝尔范畴。
部分真
[编辑]它是部分真的:如果一个群短正合序列是左分裂或是直和(条件1或3),则所有条件成立。对直和这是清楚的,因为直和给出的内射与投影。对一个左分裂序列,映射给出一个同构,故B 是一个直和(条件3),从而取此同构之逆并与自然内射复合给出一个分裂t 的内射(条件2)。
但是如果一个短正合序列是右分裂的(条件2),则未必是左正合的或是直和(条件1或条件3均未必成立):问题是右分裂的像不必是正规的。在此情形B 是一个半直积,一般不是一个直积。
反例
[编辑]为了构造一个反例,取最小非阿贝尔群,三个字母的对称群。设A 为交错子群,令。令q 与r 分别表示包含映射与符号映射,从而
- ,
是一个短正合序列。条件 (3)不成立,因为不是阿贝尔群。但条件 (2)成立:我们通过将生成元映到任意二阶循环定义u: C → B。注意条件 (1)不成立:任何映射t: B → A 必然将任何二阶循环映为单位,由拉格朗日定理。但每个置换是两个循环之乘积,故t 是平凡映射,从而tq: A → A 是平凡映射,而不是恒等。