Y-Δ变换

Δ形电路和Y形电路

Y-Δ变换或称为星角变换，是一种把Y形电路转换成等效的Δ形电路，或把Δ形电路转换成等效的Y形电路的方法。它可以用来简化电路的分析。这一变换理论是由亚瑟·肯内利于1899年发表。

基本的Y-Δ变换

设R₁、R₂、和R₃分别是Y形电路中从N₁、N₂、N₃到中点的阻抗，R_a、R_b、R_c分别是Δ形电路中N₁与N₃、N₁与N₂、N₂与N₃之间的阻抗。希望把Y形电路换成Δ形电路，或把Δ形电路换成Y形电路后，任意两个端点之间的阻抗仍然与原来的电路相等。

把Δ形电路变换成Y形电路

变换的基本思路是用$R'$和$R''$计算Y形电路端点的阻抗$R_{y}$，其中$R'$和$R''$是Δ形电路中对应节点到邻接节点间的阻抗：

$R_{y}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}$

其中$R_{\Delta }$是Δ形电路的阻抗之和。具体公式如下：

$R_{1}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}$

$R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}$

$R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}$

口诀为 Y形阻抗 = Δ形同侧相邻阻抗乘积 / Δ形阻抗之和

把Y形电路变换成Δ形电路

变换的基本思路是计算Δ形电路的$R_{\Delta }$：

$R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}$

其中$R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}$是Y形电路中的阻抗两两相乘之和，$R_{\mathrm {opposite} }$是$R_{\Delta }$所在支路对侧的端点在Y形电路中对应端点的阻抗。每一支路的阻抗计算公式为：

$R_{a}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}$

$R_{b}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}$

$R_{c}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}$

口诀为 Δ形阻抗 = Y形阻抗两两相乘之和 / Y形对侧端点阻抗

图论

在图论中，Y-Δ变换表示将一个图的Y形子图用等价的Δ形子图代替。变换后的边数不变，但顶点数和回路数会变化。如果这两个图可以通过一系列的Y-Δ变换互相变换得到，那么就可以成这两个图Y-Δ等价。例如，佩特森图就是一个Y-Δ等价类。

推导

Δ形负载到Y形负载的变换方程

要将Δ形负载{$R_{a},R_{b},R_{c}$}变换成Y形负载{$R_{1},R_{2},R_{3}$}，需要比较二者对应节点的阻抗。要计算两种接法的阻抗，需要将电路中的一个节点断开。

Δ形电路中N₃断开后，N₁与N₂间的阻抗为

${\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{b}\parallel (R_{a}+R_{c})\\[8pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{c}}}}}\\[8pt]&={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}.\end{aligned}}$

将{$R_{a},R_{b},R_{c}$}之和用$R_{T}$表示以简化方程：

$R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$

得到

$R_{\Delta }(N_{1},N_{2})={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}$

Y形电路中N₁与₂的对应阻抗为

$R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}$

由以上两式得到：

$R_{1}+R_{2}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}$   (1)

同理，对于$R(N_{2},N_{3})$与$R(N_{1},N_{3})$，也分别有

$R_{2}+R_{3}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}$   (2)

$R_{1}+R_{3}={\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}.$   (3)

由此，{$R_{1},R_{2},R_{3}$}的值可以由以上式子的线性组合（相加或相减）求出。

例如，将式(1)和式(3)相加，然后减去式(2)会得到

$R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}+{\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}-{\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}$

$2R_{1}={\frac {2R_{b}R_{a}}{R_{T}}}$

于是

$R_{1}={\frac {R_{b}R_{a}}{R_{T}}}.$

其中 $R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$

求出所有的阻抗值如下：

$R_{1}={\frac {R_{b}R_{a}}{R_{T}}}$ (4)

$R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}$ (5)

$R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}$ (6)

Y形负载到Δ形负载的变换方程

令

$R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$.

则Δ形电路到Y形电路的变换方程变为

$R_{1}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}$   (1)

$R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}$   (2)

$R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}.$   (3)

将以上式子两两相乘得到

$R_{1}R_{2}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}}{R_{T}^{2}}}$   (4)

$R_{1}R_{3}={\frac {R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}$   (5)

$R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}$   (6)

上式之和为

$R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}+R_{a}^{2}R_{b}R_{c}+R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}$   (7)

将右侧式子中的公因式$R_{a}R_{b}R_{c}$提出，约去分子中的$R_{T}$和分母中的一个$R_{T}$后得到

$R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {(R_{a}R_{b}R_{c})(R_{a}+R_{b}+R_{c})}{R_{T}^{2}}}$

$R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}$ (8)

注意式(8)和式{(1),(2),(3)}的相似性，

将式(8)除以式(1)得到

${\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{a}R_{b}}},$

${\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}=R_{c},$

得到$R_{c}$的表达式。同理，将式(8)除以$R_{2}$或$R_{3}$也能得到相应的表达式。

参考文献

• William Stevenson，“Elements of Power System Analysis 3rd ed.”，McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4