基爾霍夫電路定律

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基爾霍夫電路定律Kirchhoff Circuit Laws)簡稱為基爾霍夫定律,指的是兩條電路學定律,基爾霍夫電流定律基爾霍夫電壓定律。它們涉及了電荷的守恆電勢保守性。1845年,古斯塔夫·基爾霍夫首先提出基爾霍夫電路定律。現在,這定律被廣泛地應用於電機工程學

馬克士威方程組可以推導出基爾霍夫電路定律。但是,基爾霍夫並不是依循這條思路發展,而是從格奧爾格·歐姆的工作成果加以推廣得之。

基爾霍夫電流定律[编辑]

所有進入節點的電流的總和等於所有離開這節點的電流的總和。對於本圖案例,i_1+i_4=i_2+i_3

基爾霍夫電流定律又稱為基爾霍夫第一定律,表明[1]

所有進入某節點的電流的總和等於所有離開這節點的電流的總和。

或者,更詳細描述,

假設進入某節點的電流為正值,離開這節點的電流為負值,則所有涉及這節點的電流的代數和等於零。

以方程式表達,對於電路的任意節點

\sum_{k=1}^n i_k =0

其中,i_k 是第 k 個進入或離開這節點的電流,是流過與這節點相連接的第 k支路的電流,可以是實數複數

由於累積的電荷(單位為庫侖)是電流(單位為安培)與時間(單位為秒)的乘積,從電荷守恆定律可以推導出這條定律。其实质是稳恒电流的连续性方程,即根据电荷守恒定律,流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。[2]

導引[编辑]

思考電路的某節點,跟這節點相連接有 n 個支路。假設進入這節點的電流為正值,離開這節點的電流為負值,則經過這節點的總電流 i 等於流過支路 k 的電流 i_k 的代數和:

i=\sum_{k=1}^n i_k

將這方程式積分於時間,可以得到累積於這節點的電荷的方程式:

q=\sum_{k=1}^n q_k

其中,q=\int_0^t i(t') \mathrm{d}t' 是累積於這節點的總電荷,q_k=\int_0^t i_k(t') \mathrm{d}t' 是流過支路 k 的電荷,t 是檢驗時間,t' 是積分時間變數。

假設 q>0 ,則正電荷會累積於節點;否則,負電荷會累積於節點。根據電荷守恆定律q 是個常數,不能夠隨著時間演進而改變。由於這節點是個導體,不能儲存任何電荷。所以,q=0i=0 ,基爾霍夫電流定律成立:

\sum_{k=1}^n i_k =0

含時電荷密度[编辑]

從上述推導可以看到,只有當電荷量為常數時,基爾霍夫電流定律才會成立。通常,這不是個問題,因為靜電力相斥作用,會阻止任何正電荷或負電荷隨時間演進而累積於節點,大多時候,節點的淨電荷是零。

不過,電容器的兩塊導板可能會允許正電荷或負電荷的累積。這是因為電容器的兩塊導板之間的空隙,會阻止分別累積於兩塊導板的異性電荷相遇,從而互相抵消。對於這狀況,流向其中任何一塊導板的電流總和等於電荷累積的速率,而不是零。但是,若將位移電流 \mathbf{J}_D 納入考慮,則基爾霍夫電流定律依然有效。詳盡細節,請參閱條目位移電流。只有當應用基爾霍夫電流定律於電容器內部的導板時,才需要這樣思考。若應用於電路分析circuit analysis)時,電容器可以視為一個整體元件,淨電荷是零,所以原先的電流定律仍適用。

由更技術性的層面來說,取散度於馬克士威修正的安培定律,然後與高斯定律相結合,即可得到基爾霍夫電流定律:

\nabla \cdot \mathbf{J} = -\epsilon_0\nabla \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}

其中,\mathbf{J}電流密度\epsilon_0電常數\mathbf{E}電場\rho 是電荷密度。

這是電荷守恆的微分方程式。以積分的形式表述,從封閉表面流出的電流等於在這封閉表面內部的電荷 Q 的流失率:

\oint_{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = -\frac{ \mathrm{d} Q}{ \mathrm{d} t}

基爾霍夫電流定律等價於電流的散度是零的論述。對於不含時電荷密度 \rho ,這定律成立。對於含時電荷密度,則必需將位移電流納入考慮。

應用[编辑]

矩陣表達的基爾霍夫電流定律是眾多電路模擬軟件electronic circuit simulation)的理論基礎,例如,SPICENI Multisim

基爾霍夫電壓定律[编辑]

沿著閉合迴路所有元件兩端的電壓的代數和等於零。對於本圖案例,v_1+v_2+v_3-v_4=0

基爾霍夫電壓定律又稱為基爾霍夫第二定律,表明[1]

沿著閉合迴路所有元件兩端的電勢差(電壓)的代數和等於零。

或者,換句話說,

沿著閉合迴路的所有電動勢的代數和等於所有電壓降的代數和。

以方程式表達,對於電路的任意閉合迴路,

\sum_{k=1}^m v_k = 0

其中,m 是這閉合迴路的元件數目,v_k 是元件兩端的電壓,可以是實數或複數。

電場與電勢[编辑]

靜電學裏,電勢定義為電場的負線積分

\phi(\mathbf{r})\stackrel{def}{=} - \int_\mathbb{L} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!

其中,\phi(\mathbf{r}) 是電勢,\mathbf{E} 是電場,\mathbb{L} 是從參考位置到位置 \mathbf{r} 的路徑,\mathrm{d} \boldsymbol{\ell} 是這路徑的微小線元素。

那麼,基爾霍夫電壓定律可以等價表達為:

\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = 0

其中,\mathbb{C} 是積分的閉合迴路。

這方程式乃是法拉第電磁感應定律對於一個特殊狀況的簡化版本。假設通過閉合迴路 \mathbb{C}磁通量為常數,則這方程式成立。

這方程式指明,電場沿著閉合迴路 \mathbb{C} 的線積分為零。將這線積分切割為幾段支路,就可以分別計算每一段支路的電壓。

理論限制[编辑]

由於含時電流會產生含時磁場,通過閉合迴路 \mathbb{C}磁通量是時間的函數,根據法拉第電磁感應定律,會有電動勢 \mathcal{E} 出現於閉合迴路 \mathbb{C} 。所以,電場沿著閉合迴路 \mathbb{C} 的線積分不等於零。這是因為電流會將能量傳遞給磁場;反之亦然,磁場亦會將能量傳遞給電流。

對於含有電感器的電路,必需將基爾霍夫電壓定律加以修正。由於含時電流的作用,電路的每一個電感器都會產生對應的電動勢 \mathcal{E}_k 。必需將這電動勢納入基爾霍夫電壓定律,才能求得正確答案。

頻域[编辑]

思考單頻率交流電路的任意節點,應用基爾霍夫電流定律

\sum_{k=1}^n i_k =\sum_{k=1}^n I_k\cos(\omega t+\theta_k)=\mathrm{Re}\Big\{\sum_{k=1}^n I_k e^{j(\omega t + \theta_k)} \Big\}=\mathrm{Re}\Big\{\left(\sum_{k=1}^n I_k e^{j\theta_k} \right)e^{j\omega t}\Big\}=0

其中,i_k 是第 k 個進入或離開這節點的電流I_k 是其振幅\theta_k 是其相位\omega 是角頻率,t 是時間。

對於任意時間,這方程式成立。所以,設定相量 \mathbb{I}_k=I_k e^{j\theta_k} ,則可以得到頻域的基爾霍夫電流定律,以方程式表達,

\sum_{k=1}^n\mathbb{I}_k =0

頻域的基爾霍夫電流定律表明:

所有進入或離開節點的電流相量的代數和等於零。

這是節點分析的基礎定律。

類似地,對於交流電路的任意閉合迴路,頻域的基爾霍夫電壓定律表明:

沿著閉合迴路所有元件兩端的電壓相量的代數和等於零。

以方程式表達,

\sum_{k=1}^m \mathbb{V}_k = 0

其中,\mathbb{V}_k 是閉合迴路的元件兩端的電壓相量。

這是網目分析mesh analysis)的基礎定律。

參見[编辑]

參考[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Alexander, Charles; Sadiku, Matthew, Fundamentals of Electric Circuits. 3, revised, McGraw-Hill. 2006:  pp. 37-43, ISBN 9780073301150 
  2. ^ 普通物理学(修订版)(化学数学专业用).汪昭义 主编.华东师范大学出版社.P320.9.3 基尔霍夫定律.ISBN 978-8-5617-0444-8/N·018
  • Paul, Clayton R. Fundamentals of Electric Circuit Analysis. John Wiley & Sons. 2001. ISBN 0-471-37195-5. 
  • Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. 2004. ISBN 0-534-40842-7. 
  • Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0810-8. 

外部連結[编辑]