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黎納-維謝勢

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用表示;而其大小則用來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「」;源變數的標記的後面有單撇號「」。
艾密·維謝

電動力學裏,黎納-維謝勢指的是移動中的帶電粒子推遲勢。從馬克士威方程組,可以推導出黎納-維謝勢;而從黎納-維謝勢,又可以推導出一個移動中的帶電粒子所生成的含時電磁場。但是,黎納-維謝勢不能描述微觀系統的量子行為

阿弗雷-瑪麗·黎納英语Alfred-Marie Liénard於1898年,艾密·維謝英语Emil Wiechert於1900年,分別獨立地研究求得黎納-維謝勢的公式[1][2]。於1995年,Ribarič和Šušteršič正確計算出移動中的偶極子四極子的推遲勢[3]

歷史重要性[编辑]

經典電動力學的研究,關鍵地助導阿爾伯特·愛因斯坦發展出相對論。愛因斯坦細心地分析黎納-維謝勢和電磁波傳播,所累積的心得,引領他想出在狹義相對論裏對於時間和空間的概念。經典電動力學表述是一個重要的發射台,使得物理學家能夠飛航至更複雜的相對論性粒子運動的學術領域。

雖然經典電動力學表述的黎納-維謝勢,可以很準確地描述,獨立移動中的帶電粒子的物理行為,但是在原子層次,這表述遭到嚴峻的考驗,無法給出正確地答案。為此緣故,物理學家感到異常困惑,因而引發了量子力學的創立

對於粒子發射電磁輻射的能力,量子力學又添加了許多新限制。經典電動力學表述,表達於黎納-維謝勢的方程式,明顯地違背了實驗觀測到的現象。例如,經典電動力學表述所預測的,環繞著原子不停運動的電子,由於連續不斷地呈加速度狀態,應該會不停地發射電磁輻射;但是,實際實驗觀測到的現象是,穩定的原子不會發射任何電磁輻射。經過日以繼夜,廢寢忘食的研究論證,物理學家發現,電磁輻射的發射完全是由電子軌域的離散能級躍遷所控制(參閱波耳原子)。在二十世紀後期,經過多年的改進與突破,量子電動力學成功地解釋了帶電粒子的放射行為。

物理理論[编辑]

帶電粒子的移動軌道。

假設,從源頭位置往檢驗位置發射出一束電磁波,而這束電磁波在檢驗時間抵達觀測者的檢驗位置,則這束電磁波發射的時間是推遲時間。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的,觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間,會不同於這電磁波發射的推遲時間推遲時間 定義為檢驗時間減去電磁波傳播的時間:

其中,光速

推遲時間的概念意味著電磁波的傳播不是瞬時的。電磁波從發射位置傳播到終點位置,需要一段傳播期間,稱為時間延遲。與日常生活的速度來比,電磁波傳播的速度相當快。因此,對於小尺寸系統,這時間延遲,通常很難察覺。例如,從開啟電燈泡到這電燈泡的光波抵達到觀測者的雙眼,所經過的時間延遲,只有幾兆分之一秒。但是,對於大尺寸系統,像太陽照射陽光到地球,時間延遲大約為8分鐘,可以經過實驗偵測察覺。

表達方程式[编辑]

假設,一個移動中的帶電粒子,所帶電荷為,隨著時間而改變的運動軌道為。設定向量為從帶電粒子位置到檢驗位置的分離向量:

則黎納-維謝純量勢和黎納-維謝向量勢分別以方程式表達為

其中,真空電容率是帶電粒子的移動速度,

雖然黎納-維謝純量勢和黎納-維謝向量勢的時間參數是,方程式右手邊的幾個變數,帶電粒子位置和速度都是採推遲時間時的數值:

推導[编辑]

推遲勢,可以推導出黎納-維謝勢。推遲純量勢推遲向量勢分別以方程式定義為(參閱推遲勢

其中,分别是推迟时刻的电荷密度和電流密度,是積分的體空間,是微小體元素,向量還是採推遲時間時的數值。

帶電粒子運動軌道的電荷密度可以用狄拉克δ函數表達為

其中,是狄拉克δ函數。

代入推遲純量勢的方程式,

由於狄拉克δ函數的積分會從的可能值中,挑選出當時,所有變數的數值。所以,在積分內的變數,都可以被提出積分,採推遲時間時所計算出的數值。積分內,只剩下狄拉克δ函數等待進一步處理:

由於推遲時間跟三個變數有關,這積分比較難計算,需要使用換元積分法[4]。設定變數。那麼,其雅可比行列式

行列式內分量很容易計算,例如:

按照上述方法,經過一番計算,可以得到

所以,推遲純量勢的方程式變為

這樣,可以得到黎納-維謝純量勢:

類似地,也可以推導出黎納-維謝向量勢。

相對論性導引[编辑]

从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度,而不依赖于源点的加速度,所以也可以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出黎納-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系,记作。在系中,电荷在推迟时刻的速度为零(虽然加速度未必为零),其标势应由库仑定律给出,矢势为零。[5][6]:165ff

标势和矢势从系到系的变换满足洛仑兹变换:

其中,洛仑兹因子

代入后可以得到:

的变换关系也由洛仑兹变换给出:

的表达式代入即得到黎納-维谢势。

物理意義[编辑]

對於固定不動的帶電粒子,電勢的方程式為

這是黎納-維謝純量勢乘以雅可比行列式因子。追根究柢,原因是移動中的帶電粒子,雖然理論上是點粒子,但是由於它是在移動中,在積分裏所佔有的體積顯得比較大,所帶的電荷因此比較多,所以產生的電勢不同。这也可以看作是一种多普勒效应[5]

移動中的帶電粒子的電磁場[编辑]

從黎納-維謝勢,可以計算電場和磁場

求得的電場和磁場分別為[7]

 ;

其中,向量設定為,帶電粒子的加速度

檢查電場的方程式,右邊第一項稱為廣義庫侖場,又稱為速度場,因為這項目與加速度無關。當,粒子速度超小於光速時,,這項目會趨向庫侖方程式

右邊第二項稱為輻射場,又稱為加速度場,因為這項目的物理行為主要是由粒子的加速度決定。這個項目能夠描述電磁輻射的生成程序。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Marc Jouguet, La vie et l'oeuvre scientifique de Alfred-Marie Liénard, Exposé fait en séance mensuelle de la Société française des Electriciens, le 4 décembre, 1958 
  2. ^ Mulligan, Joseph F., Emil Wiechert(1861–1928): Esteemed seismologist, forgotten physicist, American Journal of Physics, March, 69 (3): pp. 277–287 
  3. ^ Ribarič, Marijan; Šušteršič, Luka, Expansion in terms of time-dependent, moving charges and currents, SIAM Journal on Applied Mathematics, June, 55 (3): pp. 593–624, doi:10.1137/S0036139992241972 
  4. ^ Griffiths, David; Heald, Mark, Time-Dependent Generalization of the Biot-Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics, Feb., 59 (2): pp. 111–117 
  5. ^ 5.0 5.1 俞允强. 《电动力学简明教程》. 北京大学出版社. 1999: p298. 
  6. ^ Bo Thide. Electromagnetic Field Theory. Dover Publications, Incorporated. 17 March 2011. ISBN 978-0-486-47773-2. 
  7. ^ Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 435–440. ISBN 0-13-805326-X.