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推遲勢

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用表示;而其大小則用來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「」;源變數的標記的後面有單撇號「」。

電磁學裏,推遲勢指的是,響應含時電荷分佈或含時電流分佈,而產生的推遲純量勢或推遲向量勢。對於這程序,由於「前因」與「後果」之間必然的推遲關係,訊號以光速從源位置傳播到場位置,需要有限時間。在某源位置的電流或電荷分佈,必須經過一段時間之後,才能夠將其影響傳播到場位置,產生對應的電磁作用。這一段時間的長久跟源位置與場位置之間距離的遠近有關。

理論概念[编辑]

給予在源位置的含時電荷分佈或含時電流分佈,計算在場位置產生的推遲勢。

對於靜態的電荷分佈和電流分佈,電勢磁向量勢分別定義為

其中,是場位置,是源位置,真空電容率真空磁導率電荷密度電流密度是體積分的空間,是微小體元素。

電動力學裏,這兩個方程式必須加以延伸,才能正確地響應含時電流分佈或含時電荷分佈。定義推遲時間為檢驗時間減去電磁波傳播的時間:

其中,是光速。

假設,從源位置往場位置發射出一束電磁波,而這束電磁波在檢驗時間抵達觀測者的場位置,則這束電磁波發射的時間是推遲時間。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的,觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間,會不同於這電磁波發射的推遲時間

推遲純量勢推遲向量勢分別用方程式定義為

請注意,在這兩個含時方程式內,源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間有關,而不是與時間無關。

這兩個含時方程式,是用推理得到的啟發式,而不是用任何定律公理推導出來的。訊號以光速傳播,從源位置到場位置,需要有限時間。所以在時間的推遲勢必定是由在推遲時間的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性,必須證明它們滿足非齊次的電磁波方程式[1]。還有,勞侖次規範是一個常用的規範,可以較便利地解析電磁輻射的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足勞侖次規範條件的證明。

非齊次的電磁波方程式[编辑]

含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢,必須遵守达朗贝尔方程,表達為[2]:1

假若,這些用啟發法推理得到的推遲純量勢和推遲向量勢不能滿足非齊次的電磁波方程式,那麼,這些推遲勢很可能有重大錯誤,無法適用於期望的用途(從含時源生成電磁輻射)。

設定為從源位置到場位置的分離向量:

場位置、源位置和時間都是自變數independent variable)。分離向量和其大小都是應變數dependent variable),跟場位置、源位置有關。推遲時間也是應變數,跟時間、分離距離有關。

推遲純量勢梯度

源電荷密度全微分

注意到

所以,源電荷密度的梯度是

其中,定義為

將這公式代入,推遲純量勢的梯度是

推遲純量勢拉普拉斯算符

其中,是三維狄拉克δ函數

所以,推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式

類似地,可以證明推遲向量勢滿足非齊次的電磁波方程式。

勞侖次規範條件[编辑]

給予磁場,並不是只有一個向量場滿足條件。實際上,有無限多個解答。應用一項向量恆等式,給予任意函數,那麼,也是一個解答。磁向量勢的這種特性,稱為規範自由

物理學家時常會選擇使用某種規範來解析特定的問題。在電磁學裏,勞侖次規範是一個常用的規範,可以便利地解析電磁輻射的生成問題。勞侖次規範用微分方程式表達為

按照前述方法,可以證明推遲純量勢和推遲向量勢滿足勞侖次規範。這是一個很好的練習。

廣義的含時電磁場[编辑]

推遲勢與電場磁場的關係分別為

按照前述方法,可以得到電場和磁場的方程式,又稱為傑斐緬柯方程式[1]

超前勢[编辑]

定義超前時間為現在時間加上光波傳播的時間:

超前純量勢超前向量勢 分別用方程式表達為

這兩個方程式表明,在時間的超前純量勢與超前向量勢,乃是由在超前時間的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢與超前向量勢也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範,但它們違反了因果律。這是很嚴峻的問題,未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏,超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題,並沒有任何實際用途。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X. 
  2. ^ Alexander Komech; Andrew Komech. Principles of Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media. 5 October 2009. ISBN 978-1-4419-1095-0.