推遲勢

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用

\mathbf {r} \,\!

表示；而其大小則用

r\,\!

來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「

'\,\!

」；源變數的標記的後面有單撇號「

'\,\!

」。

在電磁學裏，推遲勢指的是，響應含時電荷分佈或含時電流分佈，而產生的推遲純量勢或推遲向量勢。對於這程序，由於「前因」與「後果」之間必然的推遲關係，訊號以光速從源位置傳播到場位置，需要有限時間。在某源位置的電流或電荷分佈，必須經過一段時間之後，才能夠將其影響傳播到場位置，產生對應的電磁作用。這一段時間的長久跟源位置與場位置之間距離的遠近有關。

理論概念

對於靜態的電荷分佈和電流分佈，電勢 $\Phi (\mathbf {r} )$ 和磁向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} )$ 分別定義為

\Phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

；

其中， $\mathbf {r}$ 是場位置， $\mathbf {r} '$ 是源位置， $\epsilon _{0}$ 是真空電容率， $\mu _{0}$ 是真空磁導率， $\rho$ 是電荷密度， $\mathbf {J}$ 是電流密度， $\mathbb {V} '$ 是體積分的空間， $d^{3}\mathbf {r} '$ 是微小體元素。

在電動力學裏，這兩個方程式必須加以延伸，才能正確地響應含時電流分佈或含時電荷分佈。定義推遲時間 $t_{r}$ 為檢驗時間 $t$ 減去電磁波傳播的時間：

t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

；

其中， $c$ 是光速。

假設，從源位置 $\mathbf {r} '$ 往場位置 $\mathbf {r}$ 發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間 $t$ 抵達觀測者的場位置 $\mathbf {r}$ ，則這束電磁波發射的時間是推遲時間 $t_{r}$ 。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間 $t$ ，會不同於這電磁波發射的推遲時間 $t_{r}$ 。

推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 與推遲向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 分別用方程式定義為

\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

。

請注意，在這兩個含時方程式內，源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間 $t_{r}$ 有關，而不是與時間無關。

這兩個含時方程式，是用推理得到的啟發式，而不是用任何定律或公理推導出來的。訊號以光速傳播，從源位置到場位置，需要有限時間。所以在時間 $t$ 的推遲勢必定是由在推遲時間 $t_{r}$ 的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性，必須證明它們滿足非齊次的電磁波方程式^[1]。還有，勞侖次規範是一個常用的規範，可以較便利地解析電磁輻射的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足勞侖次規範條件的證明。

非齊次的電磁波方程式

含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢，必須遵守達朗貝爾方程，表達為^[2]^:1

\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-{\rho (\mathbf {r} ,\,t) \over \epsilon _{0}}

、

\nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)

。

假若，這些用啟發法推理得到的推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 和推遲向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 不能滿足非齊次的電磁波方程式，那麼，這些推遲勢很可能有重大錯誤，無法適用於期望的用途（從含時源生成電磁輻射）。

設定 ${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}$ 為從源位置到場位置的分離向量：

{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '

。

場位置 $\mathbf {r}$ 、源位置 $\mathbf {r} '$ 和時間 $t$ 都是自變數（independent variable）。分離向量 ${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}$ 和其大小 ${\mathfrak {R}}$ 都是應變數（dependent variable），跟場位置 $\mathbf {r}$ 、源位置 $\mathbf {r} '$ 有關。推遲時間 $t_{r}=t-{\mathfrak {R}}/c$ 也是應變數，跟時間 $t$ 、分離距離 ${\mathfrak {R}}$ 有關。

推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 的梯度是

\nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\nabla \left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\right)\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}+\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '

。

源電荷密度 $\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})$ 的全微分是

{\begin{aligned}d\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}dt_{r}\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left({\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial t_{r}}{\partial {\mathfrak {R}}}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left(dt-{\frac {1}{c}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left[dt-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} )+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} ')\right]\\\end{aligned}}

。

注意到

{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t}}={\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}={\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}

、

\nabla {\mathfrak {R}}={\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}

。

所以，源電荷密度 $\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})$ 的梯度是

\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}\nabla {\mathfrak {R}}=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}=-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}

；

其中， ${\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})$ 定義為 ${\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t_{r}}}$ 。

將這公式代入，推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 的梯度是

\nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '

。

推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 的拉普拉斯算符是

{\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {\nabla {\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\cdot {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}\right)-[\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})]\cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\ddot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}{\mathfrak {R}}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}-4\pi \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})\right]\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left[{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\right]-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}\\\end{aligned}}

；

其中， $\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})$ 是三維狄拉克δ函數。

所以，推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式

\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}

。

類似地，可以證明推遲向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 滿足非齊次的電磁波方程式。

勞侖次規範條件

給予磁場 $\mathbf {B}$ ，並不是只有一個向量場 $\mathbf {A}$ 滿足條件 $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ 。實際上，有無限多個解答。應用一項向量恆等式， $\nabla \times (\nabla \lambda )=0$ ，給予任意函數 $\lambda$ ，那麼， $\mathbb {A} =\mathbf {A} +\nabla \lambda$ 也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為規範自由。

物理學家時常會選擇使用某種規範來解析特定的問題。在電磁學裏，勞侖次規範是一個常用的規範，可以便利地解析電磁輻射的生成問題。勞侖次規範用微分方程式表達為

\nabla \cdot \mathbf {A} +{1 \over c^{2}}{{\partial \Phi } \over {\partial t}}=0

。

按照前述方法，可以證明推遲純量勢 $\Phi (\mathbf {r} ,\,t)$ 和推遲向量勢 $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)$ 滿足勞侖次規範。這是一個很好的練習。

廣義的含時電磁場

推遲勢與電場 $\mathbf {E}$ 、磁場 $\mathbf {B}$ 的關係分別為

\mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

、

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

。

按照前述方法，可以得到電場 $\mathbf {E}$ 和磁場 $\mathbf {B}$ 的方程式，又稱為傑斐緬柯方程式^[1]：

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r}){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}-{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ d^{3}\mathbf {r} '

。

超前勢

定義超前時間 $t_{a}$ 為現在時間 $t$ 加上光波傳播的時間：

t_{a}\ {\stackrel {def}{=}}\ t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}

。

超前純量勢 $\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 與超前向量勢 $\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 分別用方程式表達為

\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

、

\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '

。

這兩個方程式表明，在時間 $t$ 的超前純量勢與超前向量勢，乃是由在超前時間 $t_{a}$ 的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢 $\Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 與超前向量勢 $\mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)$ 也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範，但它們違反了因果律。這是很嚴峻的問題，未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏，超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題，並沒有任何實際用途。

參閱

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X.
^ Alexander Komech; Andrew Komech. Principles of Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media. 5 October 2009. ISBN 978-1-4419-1095-0.

[Griffiths1998-1] 1.0 ^1.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X.

[KomechKomech2009-2] Alexander Komech; Andrew Komech. Principles of Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media. 5 October 2009. ISBN 978-1-4419-1095-0.

[1]

[2]

閱論編電磁學
靜電學	電電荷電場摩擦起電效應靜電放電閃電電暈放電尖端放電靜電感應靜電吸附靜電屏蔽庫侖定律高斯定律電通量電勢能電偶極矩電極化電位移
靜磁學	磁安培定律磁場磁感應強度磁場強度磁化強度磁通量畢奧-薩伐爾定律磁矩高斯磁定律磁矢勢
電學	電路電流電勢電壓電阻絕緣體半導體導體超導體歐姆定律串聯電路並聯電路直流電交流電帶電流電動勢電容電感阻抗電導波導憶阻器基爾霍夫電路定律
電現象	壓電效應壓阻效應熱電效應光電效應電致發光中高層大氣放電
電動力學	洛倫茲力霍爾效應電磁干擾法拉第電磁感應定律楞次定律位移電流馬克士威方程組電磁場電磁波馬克士威應力張量坡印廷向量黎納-維謝勢傑斐緬柯方程式渦電流倫敦方程推遲勢自由空間協變表述電磁張量四維電流密度電磁應力-能量張量四維勢
發展史	電荷守恆定律庫侖定律伏打電堆伽伐尼電池安培定律歐姆定律電磁感應馬克士威方程組基爾霍夫電路定律戴維南定理電磁波電子自旋