线搜索

最优化问题中，线搜索 是一种寻找目标函数 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 的局部最小值 $\mathbf {x} ^{*}$ 的近似方法。它是最基础的迭代近似方法之一，另一种是置信域方法。

线搜索近似首先找到一个使目标函数 $f$ 下降的方向，然后计算 $\mathbf {x}$ 应该沿着这个方向移动的步长。下降方向可以通过多种方法计算，比如梯度下降法，牛顿法和拟牛顿法。计算出的步长不一定是精确的。

应用举例

以一个梯度法作为例子，其中第四步中使用到了线搜索。

1. 令迭代计数器 $\displaystyle k=0$，为最小值做一个初始估计 $\mathbf {x} _{0}$
2. 重复以下步骤：
3.     计算下降方向 $\mathbf {p} _{k}$
4.     选择 $\displaystyle \alpha _{k}$ 以在 $\alpha \in \mathbb {R} _{+}$ 上粗略地最小化 $h(\alpha )=f(\mathbf {x} _{k}+\alpha \mathbf {p} _{k})$
5.     更新 $\mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {x} _{k}+\alpha _{k}\mathbf {p} _{k}$, 以及 $\displaystyle k=k+1$
6. 直到 $\|\nabla f(\mathbf {x} _{k})\|$ 小于容忍度。

在第四步的线搜索中算法可以通过解方程 $h'(\alpha _{k})=0$ 来精确地，或者只是通过寻找一个 $h$ 的充分下降来粗略地最小化 $h$。前者的一个例子是共轭梯度法。后者被称作不精确线搜索，有很多种实现方法，比如回溯线搜索或者是使用沃尔夫条件。

与其它的最优化方法类似，线搜索也可以跟模拟退火结合以越过一些局部最小值。

算法

直接搜索方法

这种方法里，必须先把最小值括在一个范围内，也就是说这个算法必须能够找到 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 使得要找的最小值在它们之间。接着通过计算这个区间内部的两个点 $x_{3}$ 和 $x_{4}$，把区间分成几个子区间，抛弃掉外面两个点中与 $x_{3}$ 和 $x_{4}$ 中函数值更小的那个点不相邻的那一个。接下来的每一步中，只需要计算 额外的一个内部的点。在各种划分区间的方法中， 黄金分割法是一种特别简单而高效的方法，它的划分比例在搜索进行中始终保持不变。

${\frac {1}{\phi }}(x_{2}-x_{1})=x_{4}-x_{1}=x_{2}-x_{3}=\phi (x_{2}-x_{4})=\phi (x_{3}-x_{1})=\phi ^{2}(x_{4}-x_{3})$ where $\phi ={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\approx 1.618$

参阅

• 割线法
• 牛顿法
• 黄金分割法