频率采样法

对理想滤波器的频率响应采样。由下式 $H(k)=H_{d}(e^{j\omega })|_{\omega ={\frac {2\pi }{N}}k},k\in [0,N-1]$ 即可设计不同k点(离散的频率点) 之值。举例，将较小的k对应的响应值设计为1，较大的k对应的响应值设计为0,可得低通滤波器响应；将较小的k对应的响应值设计为0，较大的k对应的响应值设计为1,可得高通滤波器响应。

方法介绍[编辑]

给定一个理想滤波器的离散时间傅里叶变换 $H_{d}(f)$ ， $h[n]$ 则为我们要设计的有限冲激响应滤波器的冲激响应，在 $n\in [0,N-1]$ 区间设计。考虑 $R(f)$ 是 $r[n]=h[n+P]$ 的离散时间傅里叶变换。

此方法基本精神要求为

${\begin{aligned}R({\frac {m}{N}}f_{s})=H_{d}({\frac {m}{N}}f_{s}),&\forall m\in 0,1,2,...N-1\\\\&f_{s}:sampling\ frequency\end{aligned}}$

若以 normalized frequency $F={\frac {f}{f_{s}}}$ 对公式进行变数变换则 $R({\frac {m}{N}})=H_{d}({\frac {m}{N}})$

步骤一[编辑]

采样 normalized过后的理想滤波器的离散时间傅里叶变换 $H_{d}({\frac {m}{N}}),\forall m\in 0,1,2,...N-1$

步骤二[编辑]

求 $H_{d}({\frac {m}{N}})$ 的逆离散傅里叶变换(IDFT)(inverse discrete Fourier transform) $r_{1}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{m=0}^{N-1}H_{d}({\frac {m}{N}})exp(j{\frac {2\pi m}{N}}n)$

步骤三[编辑]

考虑 $N$ 的奇偶情形

若 $N$ 是奇数，则

$r[n]={\begin{cases}r_{1}[n]&{\text{for}}\ n=0,1,...,k\ \ k={\frac {N-1}{2}}\\r_{1}[n+N]&{\text{for}}\ n=-k,-k+1,...,-1.\end{cases}}$

若 $N$ 是偶数，则 $r[n]={\begin{cases}r_{1}[n]&{\text{for}}\ n=1,...,k\ \ k={\frac {N}{2}}\\r_{1}[n+N]&{\text{for}}\ n=-k,-k+1,...,-1.\end{cases}}$

步骤四[编辑]

我们据此法得到的有限响应滤波器 $h[n]$ ，即

$h[n]=r[n-k]$

优点[编辑]

简单且直观

缺点[编辑]

所得到的有限响应滤波器并非最优化的，有限响应造成的涟波大小介于用MSE和MINIMAX方法设计的滤波器之间

难以跟权重函数结合