Talbot曲线

Tschirnhausen立方曲线$y^{2}=x^{3}+3x^{2}.$

Talbot曲线也称为切恩豪斯立方曲线，为一平面曲线，极坐标方程式如下

$r=a\sec ^{3}(\theta /3).$

历史

埃伦弗里德·瓦尔特·冯·切恩豪斯、纪尧姆·德·洛必达及欧仁·查尔斯·加泰罗尼亚都曾研究此曲线。在R C Archibald于1900年发表的论文中将此称为切恩豪斯立方曲线，不过也称为洛必达立方曲线（de L'Hôpital's cubic）或加泰罗尼亚三等分角线（trisectrix of Catalan）。

其他方程式

令$t=\tan(\theta /3)$，再应用棣莫弗公式可得

$x=a\cos \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a(\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{3}})\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}$

$=a\left(1-3\tan ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)=a(1-3t^{2})$

$y=a\sin \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\cos ^{2}{\frac {\theta }{3}}\sin {\frac {\theta }{3}}-\sin ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}$

$=a\left(3\tan {\frac {\theta }{3}}-\tan ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)=at(3-t^{2})$

可以得到此曲线的参数式。参数t可以消去，得到以下方程式

$27ay^{2}=(a-x)(8a+x)^{2}$.

若此参数式水平平移8a，方程式会变成

$x=3a(3-t^{2})$

$y=at(3-t^{2})$

或

$x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)$.

因此可以得到另一个极坐标方程式

$r=9a\left(\sec \theta -3\sec \theta \tan ^{2}\theta \right)$.

参考资料

• J. D. Lawrence, A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, 1972, pp. 87-90.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Tschirnhausen Cubic. MathWorld. 
• "Tschirnhaus' Cubic" at MacTutor History of Mathematics Archive（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• "Cubique de Tschirnhausen" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables（页面存档备份，存于互联网档案馆） (in French)