Talbot曲線

Tschirnhausen立方曲線$y^{2}=x^{3}+3x^{2}.$

Talbot曲線也稱為切恩豪斯立方曲線，為一平面曲線，極坐標方程式如下

$r=a\sec ^{3}(\theta /3).$

歷史

埃倫弗里德·瓦爾特·馮·切恩豪斯、紀堯姆·德·洛必達及歐仁·查爾斯·加泰隆尼亞都曾研究此曲線。在R C Archibald於1900年發表的論文中將此稱為切恩豪斯立方曲線，不過也稱為洛必達立方曲線（de L'Hôpital's cubic）或加泰隆尼亞三等分角線（trisectrix of Catalan）。

其他方程式

令$t=\tan(\theta /3)$，再應用棣莫弗公式可得

$x=a\cos \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a(\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{3}})\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}$

$=a\left(1-3\tan ^{2}{\frac {\theta }{3}}\right)=a(1-3t^{2})$

$y=a\sin \theta \sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\cos ^{2}{\frac {\theta }{3}}\sin {\frac {\theta }{3}}-\sin ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}$

$=a\left(3\tan {\frac {\theta }{3}}-\tan ^{3}{\frac {\theta }{3}}\right)=at(3-t^{2})$

可以得到此曲線的參數式。參數t可以消去，得到以下方程式

$27ay^{2}=(a-x)(8a+x)^{2}$.

若此參數式水平平移8a，方程式會變成

$x=3a(3-t^{2})$

$y=at(3-t^{2})$

或

$x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)$.

因此可以得到另一個極坐標方程式

$r=9a\left(\sec \theta -3\sec \theta \tan ^{2}\theta \right)$.

參考資料

• J. D. Lawrence, A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, 1972, pp. 87-90.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Tschirnhausen Cubic. MathWorld. 
• "Tschirnhaus' Cubic" at MacTutor History of Mathematics Archive（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• "Cubique de Tschirnhausen" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (in French)