Δ形电路和Y形电路
Y-Δ变换或称为星角变换,是一种把Y形电路转换成等效的Δ形电路,或把Δ形电路转换成等效的Y形电路的方法。它可以用来简化电路的分析。这一变换理论是由亚瑟·肯内利于1899年发表。[1]
设R1、R2、和R3分别是Y形电路中从N1、N2、N3到中点的阻抗,Ra、Rb、Rc分别是Δ形电路中N1与N3、N1与N2、N2与N3之间的阻抗。希望把Y形电路换成Δ形电路,或把Δ形电路换成Y形电路后,任意两个端点之间的阻抗仍然与原来的电路相等。
变换的基本思路是用
和
计算Y形电路端点的阻抗
,其中
和
是Δ形电路中对应节点到邻接节点间的阻抗:
![{\displaystyle R_{y}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a47566c3daa9ca4518f914e9e7d95314cbf3b41)
其中
是Δ形电路的阻抗之和。具体公式如下:
![{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52d8eef99e0e1b19f8fbdea1b36e705c0a841eb)
![{\displaystyle R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd5fabf5624f1381da46e94074d3bd40f0e103a)
![{\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3533e41c0fd7f0d61a078cd27fb4a6061b3eb01f)
口诀为 Y形阻抗 = Δ形同侧相邻阻抗乘积 / Δ形阻抗之和
变换的基本思路是计算Δ形电路的
:
![{\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0b4628674e45829b18f0d48d98df08f53ea3ee)
其中
是Y形电路中的阻抗两两相乘之和,
是
所在支路对侧的端点在Y形电路中对应端点的阻抗。每一支路的阻抗计算公式为:
![{\displaystyle R_{a}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720afe750d858a3c0bd1a9111675c9c55c198452)
![{\displaystyle R_{b}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b383ab48ef4a306178014f3ec8f9185ba0cac351)
![{\displaystyle R_{c}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a87c07020912f1c384dfaa1bf0df90ff8e993d)
口诀为 Δ形阻抗 = Y形阻抗两两相乘之和 / Y形对侧端点阻抗
在图论中,Y-Δ变换表示将一个图的Y形子图用等价的Δ形子图代替。变换后的边数不变,但顶点数和回路数会变化。如果这两个图可以通过一系列的Y-Δ变换互相变换得到,那么就可以成这两个图Y-Δ等价。例如,佩特森图就是一个Y-Δ等价类。
要将Δ形负载{
}变换成Y形负载{
},需要比较二者对应节点的阻抗。要计算两种接法的阻抗,需要将电路中的一个节点断开。
Δ形电路中N3断开后,N1与N2间的阻抗为
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{b}\parallel (R_{a}+R_{c})\\[8pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{c}}}}}\\[8pt]&={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac6b58328c311ce9aa57cefcb4076ead0b04bc2)
将{
}之和用
表示以简化方程:
![{\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab35d184eaf89e35c80d41e6c5dc97187853a0cb)
得到
![{\displaystyle R_{\Delta }(N_{1},N_{2})={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f05ee818a9d706cdc66f3ceeaa9a154cff26e27)
Y形电路中N1与2的对应阻抗为
![{\displaystyle R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce127fa7eb21bee2716d3d45fb4537be93c7b6a)
由以上两式得到:
(1)
同理,对于
与
,也分别有
(2)
(3)
由此,{
}的值可以由以上式子的线性组合(相加或相减)求出。
例如,将式(1)和式(3)相加,然后减去式(2)会得到
![{\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}+{\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}-{\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33dd22d7bf91b639ad063d035abc50b8e85fe0a)
![{\displaystyle 2R_{1}={\frac {2R_{b}R_{a}}{R_{T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba453e6227b69826d4047e7d6fb1f59d41adf8a)
于是
![{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{a}}{R_{T}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0be54c5be32c662de0e8bcf5990adce13a6092e)
其中
求出所有的阻抗值如下:
(4)
(5)
(6)
令
.
则Δ形电路到Y形电路的变换方程变为
(1)
(2)
(3)
将以上式子两两相乘得到
(4)
(5)
(6)
上式之和为
(7)
将右侧式子中的公因式
提出,约去分子中的
和分母中的一个
后得到
![{\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {(R_{a}R_{b}R_{c})(R_{a}+R_{b}+R_{c})}{R_{T}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe1ec726d99909813e871ac884f88613c317052)
(8)
注意式(8)和式{(1),(2),(3)}的相似性,
将式(8)除以式(1)得到
![{\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{a}R_{b}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b892db9836c065b9fc48f0cdb8debb1c7eec41)
![{\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}=R_{c},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba5a1ed591e32d03d47944b245373e40510b413)
得到
的表达式。同理,将式(8)除以
或
也能得到相应的表达式。
- William Stevenson,“Elements of Power System Analysis 3rd ed.”,McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4
- ^ A.E. Kennelly, Equivalence of triangles and stars in conducting networks, Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413-414, 1899.