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協變經典場論

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近年來,協變經典場論又引起了研究者的興趣。動力學在這裡用有限維空間的在時空中的給定時間點上的來表述。射流叢現在被認為是這種表述的正確定義域。 本文給出一階經典場論的協變表述的一些幾何結構。

記法

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本條目記法和射流叢條目所引入的一致。並令表示有緊支撐的的截面。

作用量積分

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一個經典場論數學上可以如下表述

  • 一個纖維叢 ,其中表示一個維時空。
  • 一個拉格朗日量形式

代表上的體積形式,則,其中拉格朗日量函數。 我們在 上選擇纖維化坐標,使得

作用量積分定義為

其中,並定義於開集,而代表其第一射流延長(jet prolongation)。

作用量積分的變分

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截面的變分由曲線給出,其中是一個上的-豎直向量場的流,它在上有緊支撐。 截面稱為變分的駐點,如果

這等價於

其中代表的第一延長,按李導數的定義。 使用嘉當公式斯托克斯定理以及的緊支撐,可以證明這等價於

歐拉-拉格朗日方程

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考慮一個-豎直向量場

其中。採用切觸形式 on ,我們可以計算的第一延長。然後得到

其中。 據此,可以證明

因而

分部積分並考慮的緊支撐,臨界條件變為

因為為任意函數,我們得到

這些就是歐拉-拉格朗日方程組

參看

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參考

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